每日一题[364]狄利克莱函数

已知函数$f(x)=\begin{cases} 1,x\in\mathcal{Q},\\0,x\in\complement_{\mathcal {R}}{\mathcal {Q}}.\end{cases}$，给出下列三个命题：

①函数$f(x)$为偶函数；

②存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3)$为顶点的三角形是等腰直角三角形；

③存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3,4)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3,4)$为顶点的四边形是菱形．

其中，所有真命题的序号是____．

正确答案是①③．

解　显然①正确，下面考虑②③，我们无法画出函数$f(x)$的图象，但这个图象上所有的点都在直线$y=1$与$x$轴上，对于②，一方面因为三个点中至少有两个点纵坐标相同，所以直角三角形至少有一条边与$x$轴平行；另一方面由函数的定义知，直角边不可能与$x$轴垂直，所以直角边不可能与$x$轴平行，从而斜边必与$x$轴平行，于是只可能是如下图的两种情况：

易知，这三个点的横坐标分别相差$1$，所以它们的坐标只可能全为有理数或全为无理数，故不存在满足条件的三角形；

对于③，如图，需要点$A,B$的横坐标为无理数，点$C,D$的横坐标为有理数，

从而$AH$的长为无理数，而$AD=CD$为有理数，可以令$AH=\sqrt 3$，令$H(1,0)$，从而有$D(1,1),C(3,1),A(1-\sqrt 3,0),B(3-\sqrt 3,0)$，故满足条件的菱形存在．

类似地，大家可以思考，能否找到等边三角形？能否找到直角三角形？

题目中的函数就是著名的狄利克莱函数，它有很多不同寻常的性质，比如它是周期函数，且所有的非零有理数都是它的周期，但是它没有最小正周期．它的图象是客观存在的，但是无法画出；同时，它还是一个处处都不连续的函数．