每日一题[349]三角形的外心与向量

设$O$为$\triangle ABC$的外心，$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$，$xyz\ne 0$，$C$为$\triangle ABC$的内角，则$\cos{2C}=$_____．（用$x,y,z$表示）

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正确答案是$\dfrac {z^2-x^2-y^2}{2xy}$．

解　由题意知当$C$为锐角或直角时，有

$$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=2C；$$ 当$C$为钝角时，有 $$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=2\pi-2C；$$ 记$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=\theta$，则有$\cos{2C}=\cos\theta$，不妨设$\triangle ABC$的外接圆半径为$1$，如图（在本题的条件下，$C$不可能为直角）：

要得到$\cos\theta$，我们将条件$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$移项得：

$$-z\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow {OB},$$  将上式两边平方（即与自身作数量积）得 $$z^2=x^2+y^2+2xy\cos\theta,$$ 从而有$\cos2C=\cos\theta=\dfrac {z^2-x^2-y^2}{2xy}$．

事实上，$\triangle ABC$的外心$O$都满足

$$\sin 2A\overrightarrow {OA}+\sin 2B\overrightarrow {OB}+\sin{2C}\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0},$$ 所以有$x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$，可以构造出另一个三角形$A'B'C'$：

当$\triangle ABC$为锐角三角形时，

$$A'=\pi-2A,B'=\pi-2B,C'=\pi-2C,$$ 从而有$\triangle A'B'C'$的三边$a',b',c'$满足 $$a':b':c'=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=x:y:z,$$ 故 $$\cos 2C=-\cos C'=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$ 当$\triangle ABC$为钝角三角形时，不妨设$A$为钝角，可以令 $$A'=2A-\pi,B'=2B,C'=2C,$$ 类似可得$\cos 2C$的值．

关于三角形“五心”的向量表达的更多问题见每日一题[9] “奔驰定理”与五心的向量表达、每日一题[10]用向量法解“五心”题、每日一题[80]利用向量处理外心．