每日一题[346]跨入新年

已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，且$a>b>c$，$a+b+c=0$，集合$A=\{m|f(m)<0\}$，则（　　）

A．$\forall m\in A$，都有$f(m+3)>0$

B．$\forall m\in A$，都有$f(m+3)<0$

C．$\exists m_0\in A$，使得$f(m_0+3)=0$

D．$\exists m_0\in A$，使得$f(m_0+3)<0$

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正确答案是 A．

解　由题目条件可以得到的信息是

$$a>0,c<0,f(1)=0.$$ 于是我们知道$f(0)<0$，二次函数$f(x)$的开口向上，一个零点是$1$，另一个零点$x_0<1$．

结合选项知，问题集中在$f(x)$的两个零点间的距离与$3$的大小关系，即$x_0$与$-2$的大小关系，因为

$$f(-2)=4a-2b+c=3(a-b)>0,$$ 所以$f(x)$的两个零点间距离小于$3$，如图：

于是知选项 A 正确，形象一点地说，函数$f(x)$在$x$轴下方的部分对应的区间长度小于$3$，像一条宽度小于$3$的河，从这条河中的任意一点出发，跨出长度为$3$的一步，必然跨过该条河流，对应到$x$轴上方的点．

在此祝愿所有数海拾贝的读者朋友，从$2015$年跨出一大步，跨过所有的困难，在新的一年里大展鸿图！