每日一题[339]卡西尼卵形线

2011年高考数学北京卷第14题 （填空压轴题）：

曲线$C$是平面内与两个定点$F_1(-1,0)$和$F_2(1,0)$的距离之积等于常数$a^2(a>1)$的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线$C$过坐标原点；

②曲线$C$关于坐标原点对称；

③若点$P$在曲线$C$上，则$\triangle F_1PF_2$的面积不大于$\dfrac{1}{2}a^2$．

其中所有正确结论的序号是_____．

正确答案是②③．

解　我们很熟悉的问题是：“曲线$C$是平面内与两个定点$F_1(-1,0)$和$F_2(1,0)$的距离之比等于常数$\lambda$（$\lambda>1$)的点的轨迹，$\cdots$”（见阿波罗尼斯圆）．研究这个问题所用的方法为用直译法写出轨迹方程，然后通过研究代数方程来探索轨迹的几何性质．

理解题意后可以写出轨迹方程 $$\sqrt{(x+1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=a^2.$$ 据此考查三个结论：

①曲线$C$过坐标原点，即原点坐标$(0,0)$是方程的解，显然不正确；

②曲线$C$关于坐标原点对称，即若$(x,y)\in C$，则$(-x,-y)\in C$，显然正确；

③选用合适的面积公式 $$\begin{split}S_{\triangle F_1PF_2}&=\dfrac 12\cdot|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \sin\angle F_1PF_2\\&\leqslant \dfrac 12a^2.\end{split}$$ 因此③正确．

注　结论③可以引发我们进一步探索曲线$C$的有界性．

1．根据结论③，曲线$C$被限制在直线$y=\dfrac 12a^2$和$y=-\dfrac 12a^2$之间；

2．在$x$轴上可以找到两点$A(t,0)(t>0)$和$B(-t,0)$使得$(t-1)(t+1)=a^2$，即 $$t=\sqrt{a^2+1}.$$ 容易证明曲线$C$被限制在直线$x=t$和$x=-t$之间．

在此基础上结合结论②进一步思考曲线$C$的封闭性．

因为曲线$C$关于$x$和$y$轴对称，因此我们只需要考虑曲线$C$在第一象限的情况．

因为$a>1$，所以在$y$轴上可以找到两点$E(0,s)$和$F(0,-s)$满足 $$\sqrt{1^2+s^2}\cdot\sqrt{1^2+s^2}=a^2,$$ 其中$s>0$．

考虑曲线在第一象限内的情况，当$x$的值给定时， $$\sqrt{(x+1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$ 关于$y$单调递增且最小值为 $$\sqrt{(x+1)^2+0^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+0^2}=|1-x^2|<a^2,$$ 因此每个$x$有且只有一个$y$与之对应，曲线$C$在第一象限内可以看作是连接$A$和$E$的函数图象．

综上，就证明了曲线$C$是一条封闭曲线．

事实上，当$a>1$、$a=1$、$a<1$时，曲线$C$如下图左、中、右所示：

平面上到两个定点（距离为$2c$）的距离之积为定值（$a^2$）的点的轨迹称为卡西尼卵形线，这两个定点叫作焦点，随着$a$与$c$的大小关系变化卵形线的形状会发生变化，如下图：