利用直角坐标系解决翻折问

如图，将正方形\(ABCD\)翻折，使点\(B\)落在\(CD\)边上点\(E\)处（不与\(C,D\)重合），压平后得到折痕\(MN\)．设\(\dfrac {CE}{CD}=\dfrac 1n\)，则\(\dfrac {AM}{BN}=\)                       （用含\(n\)的式子表示）． 答案　\(\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}\)．
解  方法一　这个方法比较常规，利用翻折的性质，得到\(BM=ME\)．
由已知，不妨设\(BC=n,CE=1\)，
在\(\mathrm {Rt}\triangle NEC\)中，根据勾股定理得\[EN^2=CN^2+CE^2,\] 解得\[BN=\dfrac {n^2+1}{2n}.\] 又因为\[AB^2+AM^2=MD^2+DE^2,\]解得\[AM=\dfrac {(n-1)^2}{2n}.\]故 \[\dfrac {AM}{BN}=\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}.\] 
方法二　建立平面直角坐标系，通过求直线\(MN\)的解析式，得到\(AM,BN\)的长，使问题得到解决．
如图，以\(B\)为坐标原点建立平面直角坐标系，易得\(A(0,n),B(0,0),C(n,0),D(n,n),E(n,1)\)．求得直线\(BE\)解析式为\[y=\dfrac xn.\] 因为\(MN\)垂直平分\(BE\)，则\(P(\dfrac n2,\dfrac 12)\)，从而得直线\(MN\)的解析式为\[y=-nx+\dfrac {n^2+1}2.\] 将\(y=0\)，\(y=n\)代入即可得\(AM,BN\)，从而\[\dfrac {AM}{BN}=\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}.\] 
翻折问题我们常用的方法是寻找翻折前后的不变量，今天引入一个新的媒介——平面直角坐标系，通过直线方程来解决翻折问题．当正方形、矩形、等腰三角形等图形中涉及数量关系比较多的时候，我们不妨试一下这种方法，思路清晰易懂．