每日一题[338]各显神通

定义区间$(a,b)$，$[a,b)$，$(a,b]$，$[a,b]$的长度均为$d=b-a$，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如$(1,2)\cup [3,5)$的长度$d=(2-1)+(5-3)=3$．设$f(x)=[x]\cdot \{x\}$，$g(x)=x-1$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$\{x\}=x-[x]$．若用$d_1$、$d_2$、$d_3$分别表示不等式$f(x)>g(x)$、方程$f(x)=g(x)$、不等式$f(x)<g(x)$解集区间的长度，则当$-2016\leqslant x\leqslant 2016$时，$d_1=$____；$d_2=$____；$d_3=$____．

---

正确答案是$2017,1,2014$．

解　用不同的方式表示$f(x)$与$g(x)$，再比较它们的大小，会得到不同的解决方案．

法一　将$x$表示成$[x]+\{x\}$，整理$f(x)-g(x)$，得

$$\begin{split} f(x)-g(x)&=[x]\cdot\{x\}-([x]+\{x\})+1\\&=([x]-1)(\{x\}-1).\end{split}$$ 而$x-1<[x]\leqslant x$，故 $$\{x\}=x-[x]\in[0,1),$$ 从而$\{x\}-1<0$，于是$f(x)-g(x)$的正负只需要看$[x]$与$1$的大小关系：

当$[x]=1$，即$1\leqslant x<2$时，$f(x)=g(x)$，即$d_2=1$．

当$[x]<1$，即$-2016\leqslant x<1$时，$f(x)>g(x)$，即$d_1=2017$．

当$[x]>1$，即$x\geqslant 2$时，$f(x)<g(x)$，即$d_3=2014$．

法二　解决本题的关键是理解函数$f(x)=[x]\cdot\{x\}$，当$x\in[k,k+1)$时，$[x]$是一个常数，于是直接对$x$进行分类讨论．

当$k\leqslant x<k+1（k\in \mathcal{Z}）$时，$[x]=k$，$\{x\}=x-k$，于是

$$f(x)-g(x)=k(x-k)-(x-1)=(k-1)(x-k-1),$$ 而$x-k-1<0$，故$f(x)$与$g(x)$的大小关系取决于$k-1$的值为正、负还是零，以下同法一．

法三　用图形语言解决，我们已知熟悉函数$y=[x]$与$y=\{x\}$的图象（见每日一题[312]三管齐下），于是得到$f(x)$的图象，将它与$g(x)$的图象同时画出，如下：

由图象知当$x<1$时，$f(x)>g(x)$；当$1\leqslant x<2$时，$f(x)=g(x)$；当$x\geqslant 2$时，$f(x)<g(x)$．

从多个角度分析同一个对象，会让我们对它的理解更加全面深刻，从而对于与它相关的各种问题都能通过尝试找到一条可行的路．

---

下面给出一道练习：

给出定义：若$m-\dfrac 12<x\leqslant m+\dfrac 12$（其中$m$为整数），则$m$叫做离实数$x$最近的整数，记作$((x))=m$．在此基础上给出下列关于函数$f(x)=\left|x-((x))\right |$的四个命题：

①函数$y=f(x)$的定义域为$\mathcal{R}$，值域为$\left[0,\dfrac 12\right ]$；

②函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=\dfrac k2(k\in\mathcal{Z})$对称；

③函数$y=f(x)$是周期函数，最小正周期为$1$；

④函数$y=f(x)$在$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right ]$上是增函数．

其中正确命题的序号是_____．

答案　①②③．

提示　可以通过定义，分类讨论去研究$y=f(x)$的性质，也可以通过作出函数的草图去得到函数的性质．