每日一题[331]两边夹

这是QQ群“数海拾贝读者俱乐部”里的一道题．

若$0<x,y<\dfrac {\pi}{2}$，且$\sin x=x\cos y$，则（　）

A．$y<\dfrac x4$

B．$\dfrac x4<y<\dfrac x2$

C．$\dfrac x2<y<x$

D．$x<y$

正确答案是 C．

分析　由题意知 $$\dfrac {\sin x}{x}=\cos y=t,$$ 我们可以分别作出两个函数$t=\dfrac {\sin x}{x}$与$t=\cos x$的草图：

因为$t=\dfrac {\sin x}{x}$在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上单调递减，且$\dfrac {\sin{x}}{x}>\cos x$ （想一想这两个结论如何证明？），所以可以作出它们的草图如下：

我们得到 $$\cos y=\dfrac {\sin x}{x}>\cos x,$$ 从而有 $$y<x.$$ 下面比较$y$与$\dfrac x2$的大小，受前面的启发，我们只需要比较它们的余弦值的大小即可．也就是比较$\dfrac {\sin x}{x}$与$\cos\dfrac x2$的大小关系．

考虑边界情况，当$x=\dfrac {\pi}{2}$时，有 $$\dfrac {\sin x}{x}=\dfrac {2}{\pi}<\dfrac {\sqrt 2}{2}=\cos\dfrac {\pi}{4},$$ 有 $$y>\dfrac {\pi}{4}=\dfrac  x2.$$ 下面直接给出证明，因为 $$\begin{split} \dfrac {\sin x}{x}&=\dfrac {2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2}{x}\\&=\dfrac {\sin\dfrac x2}{\dfrac x2}\cdot \cos\dfrac x2\\&<\cos\dfrac x2,\end{split}$$ 从而有$y>\dfrac x2$．综上有 $$\dfrac x2<y<x.$$ 事实上，函数$t=\cos x$，$t=\dfrac {\sin x}{x}$与$t=\cos\dfrac{x}{2}$有如下关系 $$\forall x\in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right ),\cos x<\dfrac {\sin x}{x}<\cos\dfrac x2,$$ 它们的图象如下：

最后给出一道练习，去进一步熟悉函数$y=\dfrac {\sin x}{x}$的性质：

已知函数$f\left(x\right) = x\cos x - \sin x$，$x \in \left[0,\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2}\right]$ ．

（1）求证：$f\left(x\right) \leqslant 0$ ；

（2）证明：函数$g(x)=\dfrac {\sin x}{x}$，$x\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$是减函数，且有$\dfrac {2}{\pi} < g(x) < 1$．

注　我们有重要极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，高中时，对于这类涉及极限的问题，我们通常会进行转化，比如练习中，我们会去研究函数$y=\sin x-kx$的性质．