每日一题[323]分析端点

 已知函数$f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$，设实数$k$使得$f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}3\right)$对$x\in (0,1)$恒成立，求$k$的最大值．

正确答案是$2$ ．

解　令$h(x)=f(x)-k\left(x+\dfrac{x^3}3\right)$，则$h(x)$的导函数 $$h'(x)=\dfrac{2}{1-x^2}-k(1+x^2)=\dfrac{kx^4+(2-k)}{1-x^2}.$$ 注意到$h(0)=0$，于是$h(x)$在$(0,1)$上恒有$h(x)>0$的一个必要条件是 $$h'(0)\geqslant 0,$$ 即$k\leqslant 2$．证明如下： 若不然，$k>2$，此时函数$h(x)$在$\left(0,\sqrt[4]{\dfrac{k-2}{k}}\right)$上单调递减（注意，其中$\sqrt[4]{\dfrac{k-2}k}<1$），于是 $$h\left(\sqrt[4]{\dfrac{k-2}k}\right)<h(0)=0,$$ 不符合题意． 下面证明$k$可以取$2$： 当$k=2$时，$h(x)$的导函数 $$h'(x)=\dfrac{2}{1-x^2}-2(1+x^2)=\dfrac{2x^4}{1-x^2},$$ 当$x\in (0,1)$时，恒有$h'(x)>0$，于是$h(x)$在$(0,1)$上单调递增，从而 $$h(x)>h(0)=0,$$ 满足题意．

在本题中，我们通过分析端点的必要条件探索参数的取值范围，得到结论后去证明，省去了直接讨论的繁琐，是导数大题常用的手段之一．

注　本题是2015高考数学北京理科第18题的第（3）问． 事实上，我们对函数$f(x)=\ln (1+x)$有泰勒展开式： $$\ln (1+x)=x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+\cdots,$$ 因此亦有 $$\ln (1-x)=-x+\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3+\cdots ,$$ 两式相减即得 $$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\cdots \right),$$ 这是估算自然对数的重要公式． 更多类似问题见2008年全国II卷理科数学压轴题的简解、2013辽宁导数大题．