每日一题[321]一体两面

已知向量$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$,$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是____．

正确答案是$[-\sqrt 7,\sqrt 7]$．

解　思路一　几何角度

设$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$，于是条件 $$(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$$ 即 $$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BC}=0.$$

由题意知$A,B$在以$O$为圆心，$2$为半径的圆上运动；$C$在以$O$为圆心，$1$为半径的圆上运动，且有$AC\perp BC$，即点$C$在以$AB$为直径的圆上．

记$AB$的中点为$M$，有 $$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=OM^2-\dfrac 14AB^2,$$ 所以要求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的范围，只需要求出$AB$的范围即可．

因为$OM\perp AB$，考虑点$M$为大圆$O$（半径为$2$的圆）的一条半径上的动点，过$M$作$AB\perp OM$，于大圆交于$A,B$两点，再以$M$为圆心，$\dfrac 12AB$为半径作圆$M$，若圆$M$与小圆$O$（半径为$1$的圆）有公共点，则对应的$A,B$满足要求，如图：

于是得到两个临界情况，下图是$AB$取到最小值时情况：

记$r=\dfrac 12AB$，在$\triangle OAM$中，有 $$r^2+(r+1)^2=2^2,$$ 解得 $$r=\dfrac{\sqrt 7-1}{2}.$$

下图是$AB$取到最大值时的情况：

在$\triangle OAM$中，有 $$r^2+(r-1)^2=2^2,$$ 解得 $$r=\dfrac{\sqrt 7+1}{2}.$$

于是得到$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$的取值范围．

思路二　代数角度

将条件 $$(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$$ 整理得 $$1-(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0,$$ 所以 $$(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow c=1+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b.$$ 设$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=x$,$\theta =\langle\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow c \rangle$，则 $$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt{(\overrightarrow a+\overrightarrow b)^2}=\sqrt{8+2x}.$$ 所以 $$\sqrt{8+2x}\cdot 1 \cdot \cos \theta=1+x,$$ 得到 $$-1\leqslant \dfrac{1+x}{\sqrt{8+2x}}\leqslant 1.$$ 即 $$(1+x)^2\leqslant 8+2x,$$ 解得 $$-\sqrt 7\leqslant x\leqslant \sqrt 7.$$

向量具有两面性，向量相关的问题既可以从几何角度出发，将向量对应到有向线段中，通过向量运算的几何意义进行求解，此时要注意选择合适的起点，灵活运用向量的换底公式；也可以通过代数角度，直接利用运算规律对条件进行分析与化简，或者建系后进行坐标运算．

更多向量相关的问题见每日一题[208]数量积的范围、每日一题[113]平面向量的“积化和差”．