每日一题[317]最大张角问题

已知$F$是双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的焦点，$A$是相应的顶点，$P$是$y$轴上的点，满足$\angle FPA=\alpha$，则双曲线的离心率的最小值为_____．

正确答案是$\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}$

解　我们先研究：当$F,A$固定时，点$P$在$y$轴上运动，$\angle FPA$何时取到最大值，我们有以下结论： 当$P$位于过$A,F$且与$y$轴相切的圆上，且为切点时，$\angle FPA$最大． 如图，记$\triangle FAP$的外接圆圆心为$Q$，记$\angle FPA$最大时$P$为$P_0$，作$QR\perp FA$于$R$，则 $$OP_0^{2}\overset{[a]}=OA\cdot OF=ac,$$ 所以 $$QR=OP_{0}=\sqrt{ac}.$$ 所以 $$\begin{split} \tan\angle FP_{0}A&=\tan\angle FQR\\&=\dfrac{\frac 12(c-a)}{\sqrt{ac}}\geqslant\tan\alpha.\end{split}$$ 即 $$\sqrt{e}-\sqrt{\dfrac{1}{e}}\geqslant 2\tan\alpha>0.$$ 两边平方化简得 $$\begin{split} e+\dfrac{1}{e}&\geqslant 4\tan^{2}\alpha+2\\&=\dfrac{2+2\sin^2\alpha}{\cos^{2}\alpha}\\&=\dfrac{(1+\sin\alpha)^{2}+(1-\sin\alpha)^{2}}{1-\sin^{2}\alpha}.\end{split}$$ 所以 $$e_{\min}=\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}.$$

注　公式$[a]$用到了切割线定理．

本题中用到的结论是一个重要的数学模型，可以从正弦定理角度去推导，因为 $$\dfrac {FA}{\sin\angle FPA}=2r,$$ 故当$\triangle FAP$的外接圆$Q$的半径$r$有最小值时，对应的张角$\angle FPA$有最大值．而圆心$Q$在线段$FA$的中垂线上，故 $$r\geqslant QP\geqslant QP_0,$$ 当且仅当点$P$为圆$Q$与$y$轴的切点时取到等号，如图： 也可以从等张角线角度去理解，过$FA$的等张角线如下图， 每段圆弧对应的$\angle FPA$相等，随着曲线向外扩展，$\angle FPA$逐渐减小． 更多等张角线的问题见每日一题[36]等张角线和每日一题[304]小橄榄长成大南瓜．