每日一题[311]抽象函数与函数方程

定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x)+f(1-x)=1$，$f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)$，且当$0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$时，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则$f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=$___．

---

正确答案是$\dfrac{1}{32}$．

解　这是一个抽象函数的问题，抽象函数问题通常会给出函数满足的某些函数方程或不等式，以及一些特殊点的函数值，让我们通过分析得到与函数相关的一些性质，进而解决问题．

由条件$f(x)+f(1-x)=1$可以得到，$f(x)$是关于$\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$中心对称的，且

$$f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,f(1)=1.$$

再看题目的条件“当$0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$时，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$”．这个条件与函数在$[0,1]$上单调递增很相近，但是可以允许等号成立，我们可以称此函数为不减的函数，即它可以单调增，也可以在某些地方为常数．

还有一个条件是$f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)$，通过这个条件可以得到任一点$x$处与$\dfrac{x}{5}$处的函数值的关系，于是有

$$f\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac 12.$$

我们已经知道

$$f\left(\dfrac 15\right)=f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,$$ 所以当$x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 12\right]$时，恒有 $$f(x)=\dfrac 12.$$ 由于函数关于点$\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$中心对称，所以当 $$x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 45\right],f(x)=\dfrac 12.$$

我们将得到的$f(x)$的信息集中在图上：

我们容易通过$f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)$得到

$$x\in\left[\dfrac{1}{5^n},\dfrac{4}{5^n}\right],n\in\mathcal{N}^*$$ 上的函数值，$f(x)$的值恒为$\dfrac{1}{2^n}$．

而

$$\dfrac{1}{2015}\in\left[\dfrac{1}{5^5},\dfrac{4}{5^5}\right],$$ 所以 $$f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.$$

作为练习，大家可以在本题的条件下计算$f(2015)$的值．

答案是$16$．

事实上，$x\in\left[5^n,4\cdot 5^n\right]$时，$f(x)=2^n$，对$\forall x\in\mathcal{Z}$都成立．