每日一题[311]抽象函数与函数方程

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0f(x)+f(1x)=1f(x5)=12f(x),且当0x1<x21时,f(x1)f(x2),则f(12015)=___.


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正确答案是132

 这是一个抽象函数的问题,抽象函数问题通常会给出函数满足的某些函数方程或不等式,以及一些特殊点的函数值,让我们通过分析得到与函数相关的一些性质,进而解决问题.

由条件f(x)+f(1x)=1可以得到,f(x)是关于(12,12)中心对称的,且f(12)=12,f(1)=1.

再看题目的条件“当0x1<x21时,f(x1)f(x2)”.这个条件与函数在[0,1]上单调递增很相近,但是可以允许等号成立,我们可以称此函数为不减的函数,即它可以单调增,也可以在某些地方为常数.

还有一个条件是f(x5)=12f(x),通过这个条件可以得到任一点x处与x5处的函数值的关系,于是有f(15)=12.

我们已经知道f(15)=f(12)=12,所以当x[15,12]时,恒有f(x)=12.由于函数关于点(12,12)中心对称,所以当x[15,45],f(x)=12.

我们将得到的f(x)的信息集中在图上:

屏幕快照 2015-11-18 下午4.30.46

我们容易通过f(x5)=12f(x)得到x[15n,45n],nN上的函数值,f(x)的值恒为12n

12015[155,455],所以f(12015)=125=132.

作为练习,大家可以在本题的条件下计算f(2015)的值.

答案是16

事实上,x[5n,45n]时,f(x)=2n,对xZ都成立.

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