每日一题[311]抽象函数与函数方程

定义在\(\mathcal{R}\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(0)=0\)，\(f(x)+f(1-x)=1\)，\(f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)\)，且当\(0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1\)时，\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，则\(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=\)___．

正确答案是\(\dfrac{1}{32}\)．

解　这是一个抽象函数的问题，抽象函数问题通常会给出函数满足的某些函数方程或不等式，以及一些特殊点的函数值，让我们通过分析得到与函数相关的一些性质，进而解决问题．

由条件\(f(x)+f(1-x)=1\)可以得到，\(f(x)\)是关于\(\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\)中心对称的，且\[f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,f(1)=1.\]

再看题目的条件“当\(0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1\)时，\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)”．这个条件与函数在\([0,1]\)上单调递增很相近，但是可以允许等号成立，我们可以称此函数为不减的函数，即它可以单调增，也可以在某些地方为常数．

还有一个条件是\(f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)\)，通过这个条件可以得到任一点\(x\)处与\(\dfrac{x}{5}\)处的函数值的关系，于是有\[f\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac 12.\]

我们已经知道\[f\left(\dfrac 15\right)=f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,\]所以当\(x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 12\right]\)时，恒有\[f(x)=\dfrac 12.\]由于函数关于点\(\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\)中心对称，所以当\[x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 45\right],f(x)=\dfrac 12.\]

我们将得到的\(f(x)\)的信息集中在图上：

我们容易通过\(f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)\)得到\[x\in\left[\dfrac{1}{5^n},\dfrac{4}{5^n}\right],n\in\mathcal{N}^*\]上的函数值，\(f(x)\)的值恒为\(\dfrac{1}{2^n}\)．

而\[\dfrac{1}{2015}\in\left[\dfrac{1}{5^5},\dfrac{4}{5^5}\right],\]所以\[f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.\]

作为练习，大家可以在本题的条件下计算\(f(2015)\)的值．

答案是\(16\)．

事实上，\(x\in\left[5^n,4\cdot 5^n\right]\)时，\(f(x)=2^n\)，对\(\forall x\in\mathcal{Z}\)都成立．