每日一题[42] 火眼金睛识原型

今天的试题是2013年辽宁高考理科选择题的最后一题：

已知函数\(f(x)\)满足\[x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x},f(2)=\frac{{\mathrm e}^2}8,\]则\(x>0\)时，\(f(x)\)（        ）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值

D．既无极大值，又无极小值

正确答案是 D．

注意到\[\left(x^2f(x)\right)'=x^2f'(x)+2xf(x),\]于是由题中条件，有\[x^2f'(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}x-2xf(x),\]于是\[x^3f'(x)=\mathcal {\mathrm e}^x-2x^2f(x),\]两边求导可得\[\left(x^3f'(x)\right)'={\mathrm e}^x-2\cdot\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x}=\mathcal {\mathrm e}^x\cdot\frac{x-2}x.\qquad\cdots (*)\]

又在\[x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x}\]中令\(x=2\)，可得\[f'(2)=0.\]

根据(*)，函数\(y=x^3f'(x)\)在\((0,2)\)上单调递减，在\((2,+\infty)\)上单调递增．结合该函数在\(x=2\)处的函数值为\(0\)，可得\(y=x^3f'(x)\)在\((0,+\infty)\)上没有变号零点，于是\(y=f'(x)\)在\((0,+\infty)\)上也没有变号零点，进而\(y=f(x)\)在\(x>0\)时既无极大值，又无极小值．

点评    要研究函数\(f(x)\)的极值点情况，就需要得到函数\(f'(x)\)的零点情况，但我们一定要记住，要得到函数\(f'(x)\)的零点情况并不是非要\(f'(x)\)的解析式不可呀！

下面给出一道练习题．

（2015年湖北六校高三联考）已知函数\(f(x)\)满足\(\left(xf(x)\right)'=\ln x\)，\(f(1)=0\)，则\(f(x)\)（        ）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值

D．既无极大值，又无极小值

答案是 B．