每日一题[42] 火眼金睛识原型

今天的试题是2013年辽宁高考理科选择题的最后一题：

已知函数$f(x)$满足

$$x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x},f(2)=\frac{{\mathrm e}^2}8,$$ 则$x>0$时，$f(x)$（        ）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值

D．既无极大值，又无极小值

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正确答案是 D．

注意到

$$\left(x^2f(x)\right)'=x^2f'(x)+2xf(x),$$ 于是由题中条件，有 $$x^2f'(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}x-2xf(x),$$ 于是 $$x^3f'(x)=\mathcal {\mathrm e}^x-2x^2f(x),$$ 两边求导可得 $$\left(x^3f'(x)\right)'={\mathrm e}^x-2\cdot\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x}=\mathcal {\mathrm e}^x\cdot\frac{x-2}x.\qquad\cdots (*)$$

又在

$$x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x}$$ 中令$x=2$，可得 $$f'(2)=0.$$

根据(*)，函数$y=x^3f'(x)$在$(0,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增．结合该函数在$x=2$处的函数值为$0$，可得$y=x^3f'(x)$在$(0,+\infty)$上没有变号零点，于是$y=f'(x)$在$(0,+\infty)$上也没有变号零点，进而$y=f(x)$在$x>0$时既无极大值，又无极小值．

点评    要研究函数$f(x)$的极值点情况，就需要得到函数$f'(x)$的零点情况，但我们一定要记住，要得到函数$f'(x)$的零点情况并不是非要$f'(x)$的解析式不可呀！

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下面给出一道练习题．

（2015年湖北六校高三联考）已知函数$f(x)$满足$\left(xf(x)\right)'=\ln x$，$f(1)=0$，则$f(x)$（        ）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值

D．既无极大值，又无极小值

答案是 B．