每日一题[34] 韦达定理

已知

$$\frac{a}{k^2+1}+\frac{b}{k^2+2}+\frac{c}{k^2+3}+\frac{d}{k^2+4}+\frac{e}{k^2+5}+\frac{f}{k^2+6}=\frac{1}{k^2}$$ 对$k=1,2,3,4,5,6$均成立，求$a+b+c+d+e+f$的值．

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令$x=k^2$，通分，有

$$ax(x+2)(x+3)\cdots (x+6)+bx(x+1)(x+3)\cdots (x+6)+\cdots =(x+1)(x+2)\cdots (x+6)$$ 即 $$(a+b+c+d+e+f-1)x^6+(\cdots )x^5+\cdots -6!=0.$$

这个六次方程的根分别为$1^2,2^2,\cdots,6^2$，于是由韦达定理

$$1^2\cdot 2^2\cdots 6^2=\frac{-6!}{a+b+c+d+e+f-1},$$ 进而解得 $$a+b+c+d+e+f=\frac{719}{720}.$$

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点评    看到和式、积式、积的轮换和式需要联想韦达定理．