[易错题汇编]（十三）概率篇

一、事件与概率

（1）从装有$2$个红球和$2$个黑球的口袋内任取$2$个球，那么是互斥事件的有_____，是对立事件的有_____．

①至少有$1$个黑球，都是黑球

②至少有$1$个黑球，至少有$1$个红球

③恰有$1$个黑球，恰有$2$个红球

④至少有$1$个黑球，都是红球

（2）抛掷一枚均匀的骰子，记录面朝上的点数，那么是独立事件的有_____．

①朝上的点数是$3$，朝上的点不是$3$

②朝上的点数是奇数，朝上的点数是$3$

③朝上的点数是奇数，朝上的点数大于$2$

④朝上的点数是奇数，朝上的点数大于$3$

答案　（1）③④、④；

（2）③．（③④可以从独立的定义出发通过计算去确定）

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二、概率计算

（1）某家庭有$3$个孩子，这个家庭中恰有$2$个女孩的概率是_____，如果知道其中有$1$名女孩，则该家庭至少有一名男孩的概率为_____；

（2）在区间$[0,10]$上任意取一个整数$x$，则$x$不大于$3$的概率为_____；

（3）在等腰$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$C$为直角，在边$BC$上任取一点$M$，则$\angle CAM<30^\circ$的概率为_____；在$\angle CAB$内作射线交线段$BC$于点$N$，则$\angle CAN<30^\circ$的概率为_____；

（4）从装有$2$个红球和$5$个白球的袋子中随机取出两个球，则这两个球中恰有一个红球的概率为_____；若先从袋中取出一个球，记下它的颜色，放回后搅匀再取一个球，则其中恰有一个红球的概率为_____；

（5）已知事件$A,B$为相互独立的事件，若事件$A$发生的概率为$\dfrac 12$，事件$B$发生的概率为$\dfrac 23$，则其中恰有一个事件发生的概率为_____；

（6）$8$张标有$1,2,3,\cdots,8$的卡片做任意分成两叠，每叠$4$张，则标有$1,2,3$的三张卡片恰在同一叠的概率为_____，标有$1,8$的卡片恰不在同一叠的概率为_____．

（7）从数字$1,2,3,4,5$中随机抽取$3$个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于$9$的概率为_____．

答案　（1）$\dfrac 38$、$\dfrac 67$；

（2）$\dfrac {4}{11}$；

（3）$\dfrac {\sqrt 3}{3}$、$\dfrac 23$；

（4）$\dfrac {10}{21}$、$\dfrac {20}{49}$；

（5）$\dfrac {1}{2}$；

（6）$\dfrac 17$、$\dfrac 47$；

（7）$\dfrac {19}{125}$．

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三、离散型随机变量

（1）某人有$5$把钥匙，其中有$1$把可以打开房门，由于忘记是哪一把钥匙，他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是_____；他打开房门时已经试过的钥匙数记为$X$，则$X$的期望为_____；

（2）已知某批产品共计$7$件，其中有$1$件是次品，现在逐件进行产品检验，那么检验出次品所需要的检验次数的数学期望为_____．

（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方胜三局，则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为$\dfrac 23$，则甲以$3:1$的比分获胜的概率为_____，比赛结束需要的比赛次数的期望为_____．

答案　（1）$\dfrac 15$、$3$；

（2）$\dfrac {27}{7}$；（最多需要六次检验）

（3）$\dfrac {8}{27}$、$\dfrac {107}{27}$．