每日一题[270] “公转”与“自转”

2011年高考江西卷理科数学第10题（略去了选项）：

如图，一个直径为$1$的小圆，沿着直径为$2$的大圆内壁的顺时针方向滚动，$M$和$N$是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点$M$、$N$在大圆内所绘出的图形大致是（        ）

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解    这是一个动态几何问题，涉及的运动很复杂．

如图，对于这个运动，我们考虑将$MN\to M_1N_1$的运动分解为

① 小圆在大圆内的转动（将小圆想象为一枚一元硬币，数字始终朝正上方），相当于“公转”；

② 小圆自身的转动，相当于“自转”．

“公转”部分比较简单，设旋转角为$\theta_1$；

“自转”可以认为是“公转”引起的．在“公转”过程中，接触点经过的长度（弧$MM_0$的长度）由“自转”提供（弧$M_0M_1$的长度），因此弧$MM_0$的长度与弧$M_0M_1$的长度相等．（可以逆着滚动过程观察）

因为小圆的半径为大圆半径的$\dfrac 12$，因此$\theta_2=2\theta_1$，于是点$M_1$在直线$MN$上．

又$M_1N_1$为直径，因此$NN_1\perp MN$．这样就得到了所求的轨迹：

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接下来，原问题给的是半径比为$2:1$的情形，下面给出当半径比发生变化时的不同轨迹．

如，半径比为$3:1$时，是这样的：

而半径比为$4:1$时，是这样的：

请读者想一想，下面的图对应的半径比是多少？（答案在练习题之后）

照例给出一道练习题．

（2012年高考山东理科数学第16题）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一单位圆的圆心的初始位置在$(0,1)$，此时圆上一点$P$的位置在$(0,0)$，圆在$x$轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于$(2,1)$时，$\overrightarrow{OP}$的坐标为_______．

练习题的答案是$\left(2-\sin 2,1-\cos 2\right)$．

文中问题答案是$5:2$．