每日一题[269] 一题多解学数列

编者按    本文作者为刘杨，原文标题为《一箭多雕——巧用母题，举一反三》．由意琦行编辑整理，有删减和补充．

在等差数列$\{a_n\}$中，前$n$项和为$S_n$，$S_{10}=100$，$S_{100}=10$，则$S_{110}=$_______．

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正确答案是$-110$．

基本解法    从基本量入手，以$\left(a_1,d\right)$为桥梁

等差数列的首项和公差是确定数列的两个要素，解出了基本量，就等于解出了数列．

设等差数列的公差为$d$，则

$$S_n=na_1+\dfrac 12n(n-1)d,$$ 分别将$n=10$和$n=100$代入，有 $$\begin{cases}10a_1+45d=100,\\100a_1+4950d=10,\end{cases}$$ 解得 $$a_1=\dfrac{1099}{100}\land d=-\dfrac{11}{50},$$ 从而 $$S_{110}=110a_1+\dfrac 12\cdot 110\cdot 109\cdot d=-110.$$

优化一    从基本解法中可以看到，$a_1$和$d$并没有发挥它们作为数列基本量的作用，而仅仅是充当前$n$项公式中的系数，因此可以把解法中“设”的部分优化．

设$S_n=An^2+Bn$，则

$$\begin{cases}100A+10B=100,\\10000A+100B=10,\end{cases}$$ 解得 $$A=-\dfrac{11}{100}\land B=\dfrac{111}{10},$$ 于是 $$S_{110}=-\dfrac{11}{100}\cdot 110^2+\dfrac{111}{10}\cdot 110=-110.$$

优化二    在上面的解法中，我们研究的是一个长达$110$项的序列，注意到$10$、$100$、$110$都是$10$的倍数，于是可以考虑利用等差数列的局部相似性，将相邻的$10$项依次合并简化运算．

由于$S_{10},S_{20}-S_{10},\cdots,S_{100}-S_{90},S_{110}-S_{100}$为等差数列，记为$\{t_n\}$，其前$n$项和为$T_n$，公差为$d'$．

根据题意，有$T_1=100$，$T_{10}=10$，欲求$T_{11}$．此时由

$$T_{10}=10T_1+45d'$$ 解得$d'=-22$，于是 $$T_{11}=11T_1+55d'=-110.$$

优化三   在基本解法和优化一的运算中，我们第一步都是将方程两边同除以$n$，事实上，由于$S_n$为等差数列的前$n$项和，于是$\left\{\dfrac{S_n}n\right\}$为等差数列，记为$\{b_n\}$，则

$$b_{10}=10,b_{100}=\dfrac 1{10},$$ 于是可得 $$b_{110}=b_{10}+\dfrac{10}9\cdot\left(b_{100}-b_{10}\right)=-1,$$ 进而$S_{110}=-110$．

优化四    基本解法和优化一、优化二、优化三的解题策略都是确定可以计算$S_n$的一般的式子中的系数，然后再计算$S_{110}$的值，是典型的从特殊到一般再回到特殊的推理路径，因此运算量都比较大．事实上，如果我们直接着眼于特殊问题的解决，把已知和未知通过数列$\{a_n\}$中的某些特殊项联系起来，可能就可以拨云见日了．

根据已知可得

$$\begin{cases}10\left(a_1+a_{10}\right)=200,\\100\left(a_1+a_{100}\right)=20,\end{cases}$$ 于是 $$a_1+a_{10}=20,a_1+a_{100}=\dfrac 15,$$ 进而 $$\begin{split}2S_{110}&=110\left(a_1+a_{110}\right)\\&=110\left[a_1+a_{10}+\dfrac{10}{9}\cdot\left[\left(a_1+a_{100}\right)-\left(a_1+a_{10}\right)\right]\right]\\&=-220,\end{split}$$ 因此$S_{110}=-110$．

优化五    注意到$a_1+a_{110}=a_{11}+a_{100}$，于是再引入一个$a_{11}$简化运算．

在优化四中，舍弃$a_1$引入$a_{11}$，有

$$2\left(S_{100}-S_{10}\right)=90\left(a_{11}+a_{100}\right),$$ 于是可得$a_{11}+a_{100}=-2$，进而 $$2S_{110}=110\left(a_1+a_{110}\right)=110\left(a_{11}+a_{100}\right),$$ 以下略．

注一    本题结论可以推广为

在等差数列$\{a_n\}$中，$S_m=n$，$S_n=m$，且$m\neq n$，则$S_{m+n}=-(m+n)$．

注二    如果注意到题目的形式，可以设

$$T_n=S_n+n,$$ 则 $$T_{n}=T_{m}=m+n,$$ 于是散点图$n-T_n$关于$n=\dfrac{m+n}2$对称，因此 $$T_{m+n}=T_0=0,$$ 从而 $$S_{m+n}=-(m+n).$$