每日一题[269] 一题多解学数列

编者按    本文作者为刘杨，原文标题为《一箭多雕——巧用母题，举一反三》．由意琦行编辑整理，有删减和补充．

在等差数列\(\{a_n\}\)中，前\(n\)项和为\(S_n\)，\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，则\(S_{110}=\)_______．

正确答案是\(-110\)．

基本解法    从基本量入手，以\(\left(a_1,d\right)\)为桥梁

等差数列的首项和公差是确定数列的两个要素，解出了基本量，就等于解出了数列．

设等差数列的公差为\(d\)，则\[S_n=na_1+\dfrac 12n(n-1)d,\]分别将\(n=10\)和\(n=100\)代入，有\[\begin{cases}10a_1+45d=100,\\100a_1+4950d=10,\end{cases}\]解得\[a_1=\dfrac{1099}{100}\land d=-\dfrac{11}{50},\]从而\[S_{110}=110a_1+\dfrac 12\cdot 110\cdot 109\cdot d=-110.\]

优化一    从基本解法中可以看到，\(a_1\)和\(d\)并没有发挥它们作为数列基本量的作用，而仅仅是充当前\(n\)项公式中的系数，因此可以把解法中“设”的部分优化．

设\(S_n=An^2+Bn\)，则\[\begin{cases}100A+10B=100,\\10000A+100B=10,\end{cases}\]解得\[A=-\dfrac{11}{100}\land B=\dfrac{111}{10},\]于是\[S_{110}=-\dfrac{11}{100}\cdot 110^2+\dfrac{111}{10}\cdot 110=-110.\]

优化二    在上面的解法中，我们研究的是一个长达\(110\)项的序列，注意到\(10\)、\(100\)、\(110\)都是\(10\)的倍数，于是可以考虑利用等差数列的局部相似性，将相邻的\(10\)项依次合并简化运算．

由于\(S_{10},S_{20}-S_{10},\cdots,S_{100}-S_{90},S_{110}-S_{100}\)为等差数列，记为\(\{t_n\}\)，其前\(n\)项和为\(T_n\)，公差为\(d'\)．

根据题意，有\(T_1=100\)，\(T_{10}=10\)，欲求\(T_{11}\)．此时由\[T_{10}=10T_1+45d'\]解得\(d'=-22\)，于是\[T_{11}=11T_1+55d'=-110.\]

优化三   在基本解法和优化一的运算中，我们第一步都是将方程两边同除以\(n\)，事实上，由于\(S_n\)为等差数列的前\(n\)项和，于是\(\left\{\dfrac{S_n}n\right\}\)为等差数列，记为\(\{b_n\}\)，则\[b_{10}=10,b_{100}=\dfrac 1{10},\]于是可得\[b_{110}=b_{10}+\dfrac{10}9\cdot\left(b_{100}-b_{10}\right)=-1,\]进而\(S_{110}=-110\)．

优化四    基本解法和优化一、优化二、优化三的解题策略都是确定可以计算\(S_n\)的一般的式子中的系数，然后再计算\(S_{110}\)的值，是典型的从特殊到一般再回到特殊的推理路径，因此运算量都比较大．事实上，如果我们直接着眼于特殊问题的解决，把已知和未知通过数列\(\{a_n\}\)中的某些特殊项联系起来，可能就可以拨云见日了．

根据已知可得\[\begin{cases}10\left(a_1+a_{10}\right)=200,\\100\left(a_1+a_{100}\right)=20,\end{cases}\]于是\[a_1+a_{10}=20,a_1+a_{100}=\dfrac 15,\]进而\[\begin{split}2S_{110}&=110\left(a_1+a_{110}\right)\\&=110\left[a_1+a_{10}+\dfrac{10}{9}\cdot\left[\left(a_1+a_{100}\right)-\left(a_1+a_{10}\right)\right]\right]\\&=-220,\end{split}\]因此\(S_{110}=-110\)．

优化五    注意到\(a_1+a_{110}=a_{11}+a_{100}\)，于是再引入一个\(a_{11}\)简化运算．

在优化四中，舍弃\(a_1\)引入\(a_{11}\)，有\[2\left(S_{100}-S_{10}\right)=90\left(a_{11}+a_{100}\right),\]于是可得\(a_{11}+a_{100}=-2\)，进而\[2S_{110}=110\left(a_1+a_{110}\right)=110\left(a_{11}+a_{100}\right),\]以下略．

注一    本题结论可以推广为

在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(S_m=n\)，\(S_n=m\)，且\(m\neq n\)，则\(S_{m+n}=-(m+n)\)．

注二    如果注意到题目的形式，可以设$$T_n=S_n+n,$$则$$T_{n}=T_{m}=m+n,$$于是散点图$n-T_n$关于$n=\dfrac{m+n}2$对称，因此$$T_{m+n}=T_0=0,$$从而$$S_{m+n}=-(m+n).$$