角含半角模型之90°含45°(三)

如图,\(E\)是正方形\(ABCD\)边\(CD\)上一动点,\(BE\)的垂直平分线交对角线\(AC\)于点\(G\),垂足为\(H\),连接\(BG\),并延长交\(AD\)于\(F\),连接\(EF\),若\(AC=2\sqrt 2\),则\(\triangle DEF\)的周长为                56


答案为 \(4\).

法一

连接\(DG\),作\(GM\perp CD\),因为\[BG=GE=GD,\]所以\[\angle EGM=\angle DGM,\]57从而\[\angle HGM=\dfrac 12\angle BGD=\angle BGC,\]所以\[\angle 1=\angle 2=\angle GBE=45^\circ.\]故\[EF=AF+CE.\]

法二

连接\(BD\)与\(AC\)交点为\(O\),连接\(OH\).58则\[OH\parallel DC.\]得\[\angle 3=\angle 4=45^\circ.\]又\[\angle BHG=\angle BOA=90^\circ,\]所以,\(B、G、O、H\)四点共圆,
从而\[\angle 1=\angle 3=45^\circ.\]所以\[\angle EBF=45^\circ.\]所以\(\triangle DEF\)的周长为\(4\).

很多题目方法不唯一,我们要抓住图形的性质,本题中正方形的对称性就是解决这道题的关键.

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