已知平面\(\alpha\)和\(\beta\)相交形成的四个二面角中的其中一个为\(60^\circ\)，则在空间中过某定点\(P\)与这两个平面所成的线面角均为\(30^\circ\)的直线\(l\)条数为_______．
正确答案是\(3\)．
解 我们知道，研究空间的角度问题时，平面与其他空间图形所成的角度往往依托其法线进行计算．换句话说，平面的法线是平面方向的代表．
在这个问题中，设平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)过\(P\)点的法线分别为\(m\)、\(n\)，则\(\langle m,n\rangle=60^\circ\)．而此时条件直线\(l\)与两个平面所成的线面角为\(30^\circ\)可以转化为直线\(l\)与直线\(m\)、\(n\)所成的角均为\(60^\circ\)．
如图，平面上的两条直线（所成角为\(\theta\)）的平分线——为互相垂直的两条直线——在运动过程中始终保持与两条直线所成的角相等，且该角的取值范围分别为\(\left[\dfrac{\theta}2,\dfrac{\pi}2\right]\)以及\(\left[\dfrac{\pi -\theta}2,\dfrac{\pi}2\right]\)．
因此当\(\theta=60^\circ\)，而与两条直线所成角均为\(60^\circ\)时对应的直线为\(3\)条．
下面给出一个练习题．
将一个水平放置的正方形\(ABCD\)绕直线\(AB\)向上转动\(45^\circ\)到\(ABC_1D_1\)，再将所得正方形\(ABC_1D_1\)绕直线\(BC_1\)向上转动\(45^\circ\)到\(A_2BC_1D_2\)，则平面\(A_2BC_1D_2\)与平面\(ABCD\)所成二面角的正弦值是_______．（\(\dfrac{\sqrt 3}2\)）
提示 可以化为法线问题后应用三射线定理，可以参考 每日一题[46]三射线定理，以及 每日一题[202] 又见三射线定理．