每日一题[255] 代表平面—出击！

已知平面$\alpha$和$\beta$相交形成的四个二面角中的其中一个为$60^\circ$，则在空间中过某定点$P$与这两个平面所成的线面角均为$30^\circ$的直线$l$条数为_______．

正确答案是$3$．

解    我们知道，研究空间的角度问题时，平面与其他空间图形所成的角度往往依托其法线进行计算．换句话说，平面的法线是平面方向的代表．

在这个问题中，设平面$\alpha$与平面$\beta$过$P$点的法线分别为$m$、$n$，则$\langle m,n\rangle=60^\circ$．而此时条件直线$l$与两个平面所成的线面角为$30^\circ$可以转化为直线$l$与直线$m$、$n$所成的角均为$60^\circ$．

如图，平面上的两条直线（所成角为$\theta$）的平分线——为互相垂直的两条直线——在运动过程中始终保持与两条直线所成的角相等，且该角的取值范围分别为$\left[\dfrac{\theta}2,\dfrac{\pi}2\right]$以及$\left[\dfrac{\pi -\theta}2,\dfrac{\pi}2\right]$．

因此当$\theta=60^\circ$，而与两条直线所成角均为$60^\circ$时对应的直线为$3$条．

下面给出一个练习题．

将一个水平放置的正方形$ABCD$绕直线$AB$向上转动$45^\circ$到$ABC_1D_1$，再将所得正方形$ABC_1D_1$绕直线$BC_1$向上转动$45^\circ$到$A_2BC_1D_2$，则平面$A_2BC_1D_2$与平面$ABCD$所成二面角的正弦值是_______．（$\dfrac{\sqrt 3}2$）

提示    可以化为法线问题后应用三射线定理，可以参考 每日一题[46]三射线定理，以及 每日一题[202] 又见三射线定理．