每日一题[258] 抓住本质减少讨论

计数问题有时需要分类讨论，分类讨论时看清本质，再选择合适的讨论标准，减少讨论的分类，是讨论时需要记在心里默念的原则．2014年高考广东理科数学第8题（选择压轴题）：

设集合$A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\right\}$，那么集合$A$中满足条件“$1\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\leqslant 3$”的元素个数为（        ）

A．$60$

B．$90$

C．$120$

D．$130$

正确答案是 D．

解    当$x_i\ne 0$时，$|x_i|=1$，要满足题中不等式，$x_i$中不是零的数只能有$1$个，$2$个或$3$个．

以此分三种情况去讨论：

如果不是$0$的数有$1$个，则这个数可以取$1$或$-1$，满足条件的元素个数为 $$\mathrm{C}_5^1\times 2^1=10；$$ 如果不是$0$的数有$2$个，则这两个数每个都有$2$种取法，满足条件的元素个数为 $$\mathrm{C}_5^2\times 2^2=40；$$ 如果不是$0$的数有$3$个，则这三个数每个都有$2$种取法，满足条件的元素个数为 $$\mathrm{C}_5^3\times 2^3=80；$$ 故所有元素的个数为$10+40+80=130$．

本题中$x_i$的取值是零，还是非零是本质的，需要讨论；是$1$还是$-1$是非本质的，不需要讨论．看出这一点，就可以有效地减少讨论．

下面给出一道练习：

已知集合$S=\{1,2,3,\cdots,21\}$，$A$是$S$的有三个元素的子集，若$A$中的三个元素可以构成等差数列，则这样的集合$A$的个数为_____．

答案    $100$

提示    不妨将集合$A$中的元素按从小到大的顺序排列，则这三个元素中首尾两个数可以决定中间的数，从而决定这个数列．所以只需要考虑首尾两个数的情况即可，当它们奇偶性相同时，对应一个集合．故集合$A$的个数为 $$\mathrm{C}_{10}^2+\mathrm{C}_{11}^2=100.$$

更多的例题可以关注每日一题[239] 格物致知．