计数问题有时需要分类讨论，分类讨论时看清本质，再选择合适的讨论标准，减少讨论的分类，是讨论时需要记在心里默念的原则．2014年高考广东理科数学第8题（选择压轴题）：
设集合\(A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\right\}\)，那么集合\(A\)中满足条件“\(1\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\leqslant 3\)”的元素个数为（ ）
A．$60$
B．$90$
C．$120$
D．$130$
正确答案是 D．
解 当\(x_i\ne 0\)时，\(|x_i|=1\)，要满足题中不等式，\(x_i\)中不是零的数只能有\(1\)个，\(2\)个或\(3\)个．
以此分三种情况去讨论：
如果不是\(0\)的数有\(1\)个，则这个数可以取\(1\)或\(-1\)，满足条件的元素个数为\[\mathrm{C}_5^1\times 2^1=10；\]如果不是\(0\)的数有\(2\)个，则这两个数每个都有\(2\)种取法，满足条件的元素个数为\[\mathrm{C}_5^2\times 2^2=40；\]如果不是\(0\)的数有\(3\)个，则这三个数每个都有\(2\)种取法，满足条件的元素个数为\[\mathrm{C}_5^3\times 2^3=80；\]故所有元素的个数为\(10+40+80=130\)．
本题中\(x_i\)的取值是零，还是非零是本质的，需要讨论；是\(1\)还是\(-1\)是非本质的，不需要讨论．看出这一点，就可以有效地减少讨论．
下面给出一道练习：
已知集合\(S=\{1,2,3,\cdots,21\}\)，\(A\)是\(S\)的有三个元素的子集，若\(A\)中的三个元素可以构成等差数列，则这样的集合\(A\)的个数为_____．
答案 \(100\)
提示 不妨将集合\(A\)中的元素按从小到大的顺序排列，则这三个元素中首尾两个数可以决定中间的数，从而决定这个数列．所以只需要考虑首尾两个数的情况即可，当它们奇偶性相同时，对应一个集合．故集合\(A\)的个数为\[\mathrm{C}_{10}^2+\mathrm{C}_{11}^2=100.\]
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