每日一题[240] 磁力神

2013年全国高中数学联赛江西省预赛第12题：

试确定，是否存在$1,2,3,\cdots,2013$的一个以$2013$结尾的排列，从第二项起，每一项与前一项的差的绝对值不是$20$就是$13$？证明你的结论．

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正确答案是存在．

解    注意到$2013=33\times 61$（事实上，每年年份数的分解质因数都是准备联赛的选手需要记住的），于是考虑构造一个最小可用原型“磁力神”． 让$a_1=1$，且

$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+13,&a_n\leqslant 20,\\a_n-20,&a_n>20,\end{cases}$$ 即 $$1,14,27,7,20,33,13,26,6,19,32\cdots,8,21,1,\cdots,$$ 不难发现这个序列以$33$为周期，取其中以$33$结尾的一个完整周期片段： $$[13,26,6,19,32,\cdots,7,20,33].$$ 得到这个片段后，将其后移$33$个单位长度，得到片段 $$[46,59,39,52,65,\cdots,40,52,66],$$ 重复这一过程直到尾数为$2013$为止，然后将所有的片段连接起来就完成了构造．

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注    配图为电影《超能陆战队》中的微型机器人磁力神（Megabot）以及由很多磁力神组成的可以由人的意志操控组成的形体．