每日一题[12] 另类的角平分线表达

设$\odot O$为不等边$\triangle ABC$的外接圆，$\triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$所对边的长分别为$a$、$b$、$c$，$P$是$\triangle ABC$所在平面内的一点，且

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}(P\neq A),$$ $Q$为$\triangle ABC$所在平面外一点，$QA=QB=QC$．有下列命题：

① 若$QA=QP$，$\angle BAC=90^\circ$，则点$Q$在平面$ABC$上的射影恰在直线$AP$上；

② 若$QA=QP$，则$\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}$；

③ 若$QA > QP$，$\angle BAC=90^\circ$，则$\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}$；

④ 若$QA > QP$，则$P$在$\triangle ABC$内部的概率为$\dfrac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}$（${S_{\vartriangle ABC}}$、${S_{\odot O}}$分别表示$\triangle ABC$与$\odot O$的面积）．

其中不正确的命题有________．

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正确答案是①③④．

分析$P$的位置：

$$\begin{split}&\qquad\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AP}\cdot\left[{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}-\dfrac{c}{b}\left({\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}}\right) +\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{AP}}\right]=0\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AP}\cdot\left({\overrightarrow{AB}-\dfrac{c}{b}\overrightarrow{AC}}\right)=0,\end{split}$$
因此$AP$为$\angle A$的平分线，也就是说$AP$平分弧$BC$．

分析$Q$的位置：
$QA=QB=QC$，于是$Q$在$\triangle ABC$所在平面的投影为$\triangle ABC$的外心$O$．

① $QA=QP$，于是$OA=OP$．而$\angle BAC=90^\circ$，于是$A$、$P$、$O$不一定共线；

② $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，事实上$QP\perp BC$（$OP\perp BC$，三垂线定理）；

③ $\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}$即$AP$同时平分$\angle BAC$及$\angle BPC$，这是不一定的；

④若$QA > QP$，则$P$在$AP$被$\odot O$所截的内部，于是$P$在$\triangle ABC$内部的概率不为$\dfrac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}$（是长度比不是面积比）．