每日一题[231] 坐标系下的三角形面积

2014年高考四川卷理科数学第10题（选择压轴题）：

已知$F$为抛物线$y^2=x$的焦点，点$A$、$B$在该抛物线上且位于$x$轴的两侧，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$（其中$O$为坐标原点），则三角形$ABO$与三角形$AFO$的面积之和的最小值是（        ）

A．$2$

B．$3$

C．$\dfrac{17\sqrt 2}8$

D．$\sqrt{10}$

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正确答案是 B．

解    首先介绍坐标系下的三角形面积公式，由有向线段$\overrightarrow{OA}=(a,b)$和有向线段$\overrightarrow{OB}=(c,d)$形成的三角形的有向面积为

$$\dfrac 12\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}=\dfrac 12\left(ad-bc\right).$$

证明留给读者（虽然我也很痛恨这句话，但是这个真的很简单）．

有了这个公式的知识储备，我们就可以以点构图完成解答．

设$A\left(a^2,a\right)$、$B\left(b^2,b\right)$、$F\left(\dfrac 14,0\right)$且$a<0<b$．根据对称性，不妨设$|a|\leqslant |b|$．

由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$可得

$$a^2b^2+ab=2,$$ 从而解得 $$\begin{eqnarray}ab=-2,\end{eqnarray}$$ 进而由坐标系下的三角形面积公式，有 $$\begin{split}\triangle ABO+\triangle AFO&=\dfrac 12\left|a^2b-ab^2\right|+\dfrac 12\left|\dfrac 14a\right|\\&=\dfrac 12\left|ab\right|\cdot\left(|a|+|b|\right)+\dfrac 18|a|,\end{split}$$ 将(1)代入上式，可得所求面积之和为 $$\dfrac 98|a|+\dfrac{2}{|a|}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 98|a|\cdot\dfrac{2}{|a|}}=3,$$ 等号当$|a|=\dfrac 43$时成立，于是所求面积之和的最小值为$3$．