文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设\(\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac 12\)，求\(\dfrac{x^2}{x^4+1}\)的值．
2、已知\(D\)为三角形\(ABC\)的边\(BC\)上的一点，\(BD:DC=1:2\)，\(AB:AD:AC=3:k:1\)，求\(k\)的取值范围．
3、已知正实数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=1\)，求\(\dfrac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}\)的最大值．
4、构造整系数多项式函数\(f(x)\)，使\(f\left(\sin 10^\circ\right)=0\)．
5、已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上一点\(P\)与两焦点\(F_1\)、\(F_2\)形成的夹角\(\angle F_1PF_2=\alpha\)，求三角形\(F_1PF_2\)的面积．
6、已知\(n\in\mathcal N^*\)，求证：\(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac 53\)．
7、已知\(a,b,c\)是三角形的三条边之长，\(a^k+b^k=c^k\)，求证：\(k<0\lor k>1\)．
参考答案
1、\(\dfrac 16\)
2、\(\left(\dfrac 53,\dfrac 73\right)\)
提示 利用余弦定理和三角形的三边关系．
3、\(\dfrac 18\)
提示 齐次化，有\[\begin{split}(1-a)(1-b)(1-c)&=(b+c)(c+a)(a+b)\\&\geqslant 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt {ca}\cdot 2\sqrt{ab}\\&=8abc,\end{split}\]于是所求的最大值为\(\dfrac 18\)．
4、\(f(x)=8x^3-6x+1\)
提示 利用三倍角公式及\(1-2\sin\left(3\cdot 10^\circ\right)=0\)构造．
5、\(b^2\tan\dfrac{\alpha}2\)
6、由\[\forall n\in\mathcal N^*,\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\]可得\[\begin{split}\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}&<1+\dfrac{1}{2-\dfrac 12}-\dfrac{1}{2+\dfrac 12}+\dfrac{1}{3-\dfrac 12}-\dfrac{1}{3+\dfrac 12}+\cdots+\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&=\dfrac 53-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&<\dfrac 53,\end{split}\]故原命题得证．
7、记\(f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k\)．
若\(c\)不为最大边，则由\[\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=1\]得\[\left(\dfrac ac\right)^k<1\land \left(\dfrac bc\right)^k<1,\]而\(\dfrac ac,\dfrac bc\)至少有一个大于\(1\)，因此\(k<0\)．
若\(c\)为最大边，则\(\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1]\)．当\(\dfrac ac=\dfrac bc =1\)时，等式\[\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=2\neq 1,\]故而\(f(k)\)为单调递减函数．又\[f(1)=\dfrac ac+\dfrac bc>1,\]于是\(k>1\)． 综上，原命题得证．