每日一题[208] 数量积的范围

2015年全国高中数学联赛安徽省预赛第3题：

设平面向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a\right|,\left|\overrightarrow b\right|,\left|\overrightarrow a +\overrightarrow b\right|\in [1,3]$，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是_______．

正确答案是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．

法一

由于 $$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 12\left(\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a\right|^2-\left|\overrightarrow b\right|^2\right)\geqslant -\dfrac {17}2,$$ 又 $$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 14\left(\left|\overrightarrow a+ \overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\right)\leqslant \dfrac 94,$$ 且两个不等式中的等号均可取得，因此$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．

法二

设平面内$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$、$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow b$，则$\left|\overrightarrow {AB}\right|=\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|$．

于是问题转化为在圆环$1\leqslant r\leqslant 3$上的两点$A$、$B$之间的距离在$[1,3]$之间，求$-\left(\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}\right)$的取值范围．

应用极化恒等式，有 $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OM^2-\dfrac 14AB^2,$$ 其中$M$为线段$AB$的中点．

显然有$1\leqslant AB^2\leqslant 9$，接下来考虑$OM^2$的取值范围．

显然当$A$、$B$位于半径为$3$的圆周上，且$AB$的长度为$1$时$OM^2$取得最大值，为$3^2-\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac{35}4$．从而$OM^2$的取值范围是$0\leqslant OM^2\leqslant \dfrac {35}4$．

因此 $$0-\dfrac 94\leqslant OM^2-\dfrac 14AB^2\leqslant \dfrac{35}4-\dfrac 14,$$ 从而 $$-\dfrac 94\leqslant \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}\leqslant \dfrac{17}2,$$ 即$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．

注    关于极化恒等式，提供两道练习题：

1、已知$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|=\sqrt 3$，$\left|\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=1$，则$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow c\right|$的最大值是_______．（$3$）

2、$C$、$D$两点在三角形$PAB$的边$AB$上，且$AC=BD$．若$\angle CPD=90^\circ$，且$PA^2+PB^2=10$，则$AB+CD$的最大值为_______．（$2\sqrt{10}$）