台球桌上的几何学

其实我不太了解台球，只知道有个号称九球皇后的“小潘婷”潘晓婷．

言归正传，分享两道高考题，你就会明白台球桌上的技术是如何帮助我们解题的．

第一道题是2012年全国卷（理）的第12题：

正方形\(ABCD\)的边长为\(1\)，点\(E\)在边\(AB\)上，点\(F\)在边\(BC\)上，\(AE=BF=\dfrac 37\)，动点\(P\)从\(E\)出发沿直线向\(F\)运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点\(P\)第一次碰到\(E\)时，\(P\)与正方形的边碰撞的次数为（        ）

A．16

B．14

C．12

D．10

想象一下，如果我们不去反射动点的轨迹，而让动点沿射线运动，那么此时正方形就会不停地进行反射．

此时，点\(E\)会有无数个影子，射线\(EF\)击中的第一个影子就对应着“点\(P\)第一次碰到\(E\)”．可以用代数的方法进行分析，以\(A\)为原点，建立平面直角坐标系，则\(E\)及它的影子的坐标形如\(\left(2m\pm\dfrac 37,2n\right)\)，其中\(m,n\in\mathcal Z\)．初始的点\(E\left(\dfrac 37,0\right)\)，\(F\left(1,\dfrac 37\right)\)，因此

\[\dfrac {2n-0}{2m\pm \dfrac 37-\dfrac 37}=\dfrac {\dfrac 37-0}{1-\dfrac 37}.\]

其最小的正整数解\((m,n)\)为\((4,3)\)．

事实上，\(m\)或\(n\)每增加\(1\)，都会引起\(2\)次的“穿越”（也就是真实环境中的“反射”），因此所求的次数为\(2(m+n)=14\)．

第二道题是2014年江西卷（理）第10题：

在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=11\)，\(AD=7\)，\(AA_1=12\)，一质点从顶点\(A\)射向点\(E(4,3,12)\)，遇长方体的面反射（反射服从反射原理），将第\(i-1\)次到第\(i\)次反射点之间的线段记为\(l_i\)（\(i=2,3,4\)），\(l_1=AE\)，将线段\(l_1,l_2,l_3,l_4\)竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（        ）

 这个题目用两张图解答：

聪明的你，领悟到其中的玄妙了吗？