一个根式函数值域的问题

求函数$y=\sqrt{x^2-7x+12}+\sqrt{x^2-3x+2}$的值域．

显然函数的定义域为$x\leqslant 1 \lor 2\leqslant x\leqslant 3 \lor x\geqslant 4$．

先配方，有

$$y=\sqrt{\left(x-\dfrac 72\right)^2-\dfrac 14}+\sqrt{\left(x-\dfrac 32\right)^2-\dfrac 14},$$ 于是不难得出函数关于直线$x=\dfrac 52$对称．

换元，令$t=x-\dfrac 52$，考虑到对称性，只需要考虑$0\leqslant t\leqslant \dfrac 12$以及$t\geqslant \dfrac 32$的情形．

求导，得

$$y'_t=\dfrac{2t-2}{\sqrt{\left(t-1\right)^2+\dfrac 14}}+\dfrac{2t+2}{\sqrt{\left(t+1\right)^2-\dfrac 14}}.$$

情形一    当$t\geqslant \dfrac 32$时，$y'_t>0$，于是函数在$t\geqslant \dfrac 32$时单调递增，对应的取值范围为$y\geqslant \sqrt 6$．

情形二    当$0\leqslant t\leqslant \dfrac 12$时，

$$\dfrac 12y'_t=\dfrac{1+t}{\sqrt{\left(1+t\right)^2-\dfrac 14}}-\dfrac{1-t}{\sqrt{\left(1-t\right)^2-\dfrac 14},}$$ 而我们有 $$\dfrac{(1-t)^2}{(1+t)^2}\geqslant \dfrac{(1-t)^2-\dfrac 14}{(1+t)^2-\dfrac 14},$$ 于是可得$y'_t\leqslant 0$，等号仅当$t=0$时取得．于是函数在$0\leqslant t\leqslant \dfrac 12$时单调递减，对应的取值范围为$\sqrt 2\leqslant y\leqslant \sqrt 3$．

综上，所求函数的值域为$\left[\sqrt 2,\sqrt 3\right]\cup\left[\sqrt 6,+\infty\right)$．

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注    （江苏无锡王举老师提供）当$t\in\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$时也可以利用函数图象的切割线进行放缩，如图．

于是有

$$\sqrt 2\cdot t+\dfrac{\sqrt 2}2\leqslant \sqrt{t^2+2t+\dfrac 34}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}\cdot t+\dfrac{\sqrt 3}{2},$$ 类似的，有 $$-\sqrt 2\cdot t+\dfrac{\sqrt 2}2\leqslant \sqrt{t^2-2t+\dfrac 34}\leqslant -\dfrac{2}{\sqrt 3}\cdot t+\dfrac{\sqrt 3}{2},$$ 左边不等式取等号的条件为$t=\pm\dfrac 12$，右边不等式取等号的条件为$t=0$．因此，有 $$\sqrt 2\leqslant y\leqslant \sqrt 3.$$