每日一题[178] 对数值的估算

2011年高考重庆卷文科数学第6题有一个错误版本：

http://wenku.baidu.com/view/54da03ceda38376baf1faeb8.html

http://www.doc88.com/p-288604732880.html

设\(a={\log_{\frac 13}}\dfrac 12\)，\(b={\log_{\frac 12}}\dfrac  23\)，\(c={\log_3}\dfrac 43\)，则\(a,b,c\)的大小关系是（        ）

A．\(a<b<c\)

B．\(c<b<a\)

C．\(b<a<c\)

D．\(b<c<a\)

而原题中\(b={\log_{\frac 13}}\dfrac 23\)，正确答案为B．那么问题来了，错误的版本该如何完成大小比较呢？

解    根据已知\(a={\log_3}2\)，\(b={\log_2}3-1\)，\(c=2{\log_3}2-1\)，于是令\(t={\log_2}3\)，则\[a=\dfrac 1t,b=t-1,c=\dfrac 2t-1.\]

由于\({\log_{2^3}}3^2>1\),于是\(\dfrac 32<{\log_2}3<2\)，因此\(c<\dfrac 13\)，而\(a,b>\dfrac 12\)，从而有\(c\)为最小数．

难点在于比较\(a\)与\(b\)的大小关系，作差\[\begin{split}b-a&=(t-1)-\dfrac 1t\\&=\dfrac{t^2-t-1}t\\&=\dfrac 1t\left(t-\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)\left(t-\dfrac{1-\sqrt 5}2\right),\end{split}\]因此只需要比较\(t\)与\(\dfrac{1+\sqrt 5}2\)的大小．

事实上，由\({\log_{2^8}}3^5={\log_{256}{243}}<1\)得\[{\log_2}3<\dfrac 85=1.6<\dfrac{1+\sqrt 5}{2},\]于是\(b-a<0\)，即\(b<a\)．

综上，\(a,b,c\)的大小关系为\(c<b<a\)，答案仍为B．