2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #14
已知 O 为 △ABC 所在平面内一点，满足 →OA+→OB+→OC=→0，且 |→OA|=2，|→OB|=3，|→OC|=4，设 θ 为向量 →OA,→OB 的夹角，则 cosθ= _____；→OA⋅→OB+→OA⋅→OC= _____．
答案 14；−4．
解析 根据题意，有−→OC=→OA+→OB⟹|OC|2=|OA|2+2→OA⋅→OB+|OB|2⟹→OA⋅→OB=32,
进而可得 cosθ=14．而→OA⋅→OB+→OA⋅→OC=→OA⋅(→OB+→OC)=−|OA|2=−4.
解法2：延长CO到点D，使得OD=OC，记角BDO=角AOD=α，角ADO=角BOD=β，则在三角形ADO和三角形BDO中，分别用余弦定理，有：
cos(β)=32+42−222×3×4=7/8
cos(α)=42+22−322×4×2=11/16
由于角α和角β都∈[0,π]，
因此，sin(α)=√158，sin(β)=3×√1516，
于是，cos(θ)=cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)=1/4。