每日一题[3612]函数最值与最值函数

2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #15

已知函数 $f(x)=|x+1|+|a x-2|$（$a>0$）定义域为 $\mathbb R$，最小值记为 $M(a)$，给出以下四个结论：

① $M(a)$ 的最小值为 $1$；

② $M(a)$ 的最大值为 $3$；

③ $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减；

④ $a$ 只有唯一值使得 $y=f(x)$ 的图象有一条垂直于 $x$ 轴的对称轴．

其中所有正确结论的是[[nn]]．

答案    ②③④．

解析    考虑一般的 $a\in\mathbb R$ 的情形，根据题意，有 $$M(a)=\min\left\{f(-1),f\left(\dfrac 2a\right)\right\}=\min\left\{|a+2|,\left|\dfrac 2a+1\right|\right\},$$ 讨论分界点为关于 $a$ 的方程 $$|a+2|=\left|\dfrac 2a+1\right|$$ 的解，为 $a=-2,-1,1$，如图．

当 $a>0$ 时，$M(a)$ 没有最小值（下确界为 $1$），有最大值 $M(1)=3$，结论 ① 错误，结论 ② 正确； 函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-1\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 2a,+\infty\right)$ 上单调递增，结论 ③ 正确； 仅当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac 2a\right)$ 上的图象为水平的线段，此时函数 $y=f(x)$ 的图象有一条垂直于 $x$ 轴的对称轴，结论 ④ 正确．

综上所述，所有正确的结论为 ②③④．