每日一题[3602]分离变量

2024年10月九省联考高三数学质量检测 #11

已知 $a\left({\rm e}^a-1\right)>(b-1)\ln b$，其中 $\rm{e}$ 是自然对数的底数，则（       ）

A．若 $a>0$，则 $\mathrm e^a>b$

B．若 $a>0$，则 $a>b$

C．若 $a<0$，则 $b {\rm e}^a<1$

D．若 $a<0$，则 $\mathrm e^a>2-b$

答案    AC．

解析    设 $f(x)=x\left(\mathrm e^x-1\right)$，则 $$a\left({\rm e}^a-1\right)>(b-1)\ln b\iff f(a)>f(\ln b).$$ 函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\mathrm e^x(x+1)-1,$$ 于是函数 $f(x)$ 满足 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)&+\infty \\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&0&\nearrow&+\infty \\ \hline\end{array}$$

若 $a>0$，设直线 $y=f(a)$ 与函数 $f(x)$ 的图象的公共点分别为 $a',a$，则 $a'<0$，此时 $$f(a)>f(\ln b)\iff a'<\ln b<a\iff \mathrm e^{a'}<b<\mathrm e^a,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确；而当 $b\in \left[a,\mathrm e^a\right)$ 时，符合题意，但不满足 $a>b$，选项 $\boxed{B}$ 错误； 

$a<0$，设直线 $y=f(a)$ 与函数 $f(x)$ 的图象的公共点分别为 $a',a$，则 $a'>0$，此时 $$f(a)>f(\ln b)\iff a<\ln b<a'\iff \mathrm e^{a}<b<\mathrm e^{a'},$$ 注意到 $$f(-a)=(-a)\left(\mathrm e^{-a}-1\right)=\mathrm e^{-a}\cdot f(a)>f(a),$$ 于是 $a'<-a$，从而 $$\ln b<-a\iff b\mathrm e^a<1,$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确；而当 $b\in\left(\mathrm e^a,2-\mathrm e^a\right]$ 时，符合题意，但不满足 $\mathrm e^a>2-b$，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．