每日一题[3530]反函数

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#10

若实数 $a,b$ 满足 $a+\mathrm e^a=b+\ln b=4$，则（       ）

A．$a b>\mathrm e$

B．$a b<4$

C．$a\ln b+b\ln a>1$

D．$a \ln b+b \ln a<4 \ln 2$

答案     ABC．

解析    设 $f(x)=x+\ln x$，则 $$f\left(\mathrm e^a\right)=f(b)=4,$$ 而 $f(x)$ 是 $\mathbb R^+$ 上的单调递增函数，从而 $\mathrm e^a=b$，进而 $$a+\mathrm e^a=4\implies a+b=4.$$

对于选项 $\boxed{A}$，由于 $$ab=a\mathrm e^a=\mathrm e^{\ln a+a}\geqslant \mathrm e,$$ 等号仅当 $a=1$ 时取得，但此时不满足 $a+\mathrm e^a=4$，因此等号无法取得，选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，由于 $$ab\leqslant\left(\dfrac{a+b}2\right)^2=4,$$ 等号仅当 $a=b$，即 $a=2$ 时取得，但此时不满足 $a+\mathrm e^a=4$，因此等号无法取得，选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，有 $$a\ln b+b\ln a=a^2+b^2\geqslant 2\left(\dfrac{a+b}2\right)^2=4,$$ 等号仅当 $a=b$，即 $a=2$ 时取得，但此时不满足 $a+\mathrm e^a=4$，因此等号无法取得，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，容易得到 $a>1$，于是 $b=\mathrm e^a>\mathrm e$，从而 $$a\ln b+b\ln a=a^2+b^2>1+\mathrm e^2>4\ln 2,$$ 选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．