2024年高考北京卷#20
设函数 $f(x)=x+k\ln (1+x)$（$k\ne 0$），直线 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$（$t>0$）处的切线．
1、当 $k=-1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、求证：$l$ 不经过 $(0,0)$；
3、当 $k=1$ 时，设点 $A(t,f(t))$（$t>0$），$C(0,f(t))$，$O(0,0)$，$B$ 为 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点，$ S_{\triangle ACO} $ 与 $ S_{\triangle ABO} $ 分别表示 $ \triangle ACO $ 与 $ \triangle ABO $ 的面积．是否存在点 $ A $ 使得 $ 2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} $ 成立？若存在，这样的点 $ A $ 有几个？ （参考数据：$ 1.09<\ln 3<1.10 $，$ 1.60<\ln 5<1.61 $，$ 1.94<\ln 7<1.95$）
解析
1、若 $k=-1$，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac x{1+x},\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-1,0)$．
2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1+\dfrac k{1+x},\]因此切线 $l$ 的方程为\[y=t+k\ln (1+t)+\left(1+\dfrac k{1+t}\right)(x-t),\]即\[y=\left(1+\dfrac k{1+t}\right)x+k\ln(1+t)-\dfrac{kt}{1+t},\]要证明切线 $l$ 不经过 $(0,0)$，只需要证明\[\forall t>0,~\ln (1+t)\ne \dfrac{t}{1+t},\]事实上，根据对数函数的基本放缩，有\[\ln x>1-\dfrac 1x\implies \ln(1+t)>1-\dfrac{1}{1+t}=\dfrac t{1+t},\]命题得证．
3、当 $k=1$ 时，切线方程为\[y=\dfrac{2+t}{1+t}x+\ln (1+t)-\dfrac t{1+t},\]于是 $B\left(0,\ln(1+t)-\dfrac t{1+t}\right)$，$C\left(0,t+\ln(1+t)\right)$，从而 $\triangle ACO$ 与 $\triangle ABO$ 的面积之比为 $\dfrac{15}2$ 即\[15\left(\ln(1+t)-\dfrac t{1+t}\right)-2(t+\ln(1+t))=0,\]也即\[13\ln (1+t)-2t-\dfrac{15t}{1+t}=0,\]设函数 $g(x)=13\ln (1+x)-2x-\dfrac{15x}{1+x}$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{(2x-1)(4-x)}{(1+x)^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,4\right)&4&(4,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\searrow&13\ln\dfrac 32-6&\nearrow&13\ln 5-20&\searrow&-\infty\\ \hline\end{array}\]而\[\begin{split} g\left(\dfrac 12\right)&<h(0)=0,\\ g(4)&=13\ln 5-20>1.60\cdot 13-20>0,\\ g(24)&=25\ln 5-62.5<25\cdot 1.61<0,\end{split}\]因此函数 $g(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点，从而符合条件的 $A$ 的个数为 $2$．