每日一题[3307]高次方程与三角公式

下列实数中，是方程 $8 x^2=\dfrac 1 x+6$ 的解的有（       ）

A．$\sin\dfrac{7\pi}{18}$

B．$\sin\dfrac{5\pi}{18}$

C．$\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)$

D．$\sin\left(-\dfrac{5\pi}{18}\right)$

答案    ACD．

解析    题中方程即 $8x^3-6x=1$，联想三倍角公式，不难得到该三次方程的实根都在 $[-1,1]$ 内，设 $x=\cos\theta$，则

$$4x^3-3x=\cos\dfrac{\pi}3\iff \cos(3\theta)=\cos\dfrac{\pi}3\iff 3\theta=\pm\dfrac{\pi}3+2k\pi\iff \theta=\pm \dfrac{\pi}9+\dfrac{2k\pi}3,$$ 其中 $k\in\mathbb Z$，于是该方程的实数解为 $\cos\dfrac{\pi}9,\cos\dfrac{7\pi}9,\cos\dfrac{13\pi}9$ 即 $-\cos\dfrac{4\pi}9,-\cos\dfrac{2\pi}9,\cos\dfrac{\pi}9$，也即 $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{18}\right),\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right),\sin\dfrac{7\pi}{18}$．