每日一题[3231]左顾右盼

已知函数 $f(x)=(2x^2-x^3){\rm e}^{1-x}$，其中 $x>0$．

1、求 $f(x)$ 的最大值．

2、若不等式 $ax^2{\rm e}^{1-x}+|\ln x |\geqslant a$ 对于任意的 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^{1-x}\cdot x(x-1)(x-4),$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=1$ 处取得极大值，也为最大值 $f(1)=1$．

2、记 $g(x)=ax^2{\rm e}^{1-x}+\ln x-a$，$h(x)=ax^2{\rm e}^{1-x}-\ln x-a$，则 $g(1)=h(1)=0$，考虑

$$g'(x)={\rm e}^{1-x}\cdot ax\left(2-x\right)+\dfrac 1x,\quad h'(x)={\rm e}^{1-x}\cdot ax\left(2-x\right)-\dfrac 1x,$$ 有 $g'(1)=a+1$，$h'(1)=a-1$．

情形一     $a<-1$．此时 $g'(1)<0$，而 $g'(2)=\dfrac 12>0$，因此 $g'(x)$ 在 $(1,2)$ 上有零点，设其最小的零点为 $x_1$，则当 $x\in (1,x_1)$ 时，有 $g'(x)<0$，于是 $g(x)$ 在该区间上单调递减，结合 $g(1)=0$，不符合题意．

情形二     $a>1$．此时 $h'(1)>0$，而

$$h'(x)<{\rm e}^{1-0} \cdot a\cdot \left(\dfrac{x+(2-x)}2\right)^2-\dfrac 1x=a{\rm e}-\dfrac 1x,$$ 因此 $h'\left(\dfrac{1}{a{\rm e}}\right)<0$，从而函数 $h'(x)$ 在该区间上存在零点，设其最大的零点为 $x_2$，则当 $x\in (x_2,1)$ 时，有 $h'(x)>0$，于是 $h(x)$ 在该区间上单调递增，结合 $h(1)=0$，不符合题意．

情形三     $-1\leqslant a\leqslant 1$．此时当 $x\in (0,1)$ 时，有

$$h'(x)<{\rm e}^{1-x}-\dfrac 1x<0,$$ 因此 $h(x)$ 单调递减，从而题中不等式在 $(0,1)$ 上成立． 当 $x\in [1,2]$ 时，有 $$g'(x)\geqslant \dfrac 1x-{\rm e}^{1-x}\geqslant 0,$$ 从而 $g(x)$ 在该区间上单调递增，结合 $g(1)=0$，从而题中不等式在 $[1,2]$ 上成立． 当 $x>2$ 时，利用导数有 $$x^2{\rm e}^{1-x}-1\geqslant \dfrac{4}{\rm e}-1,$$ 于是 $$h(x)>\ln 2-\left(\dfrac4{\rm e}-1\right)>1+\dfrac 23-\dfrac{4}{\frac 83}>0,$$ 从而题中不等式在 $(0,1)$ 上成立．

综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,1\right]$．