每日一题[3206]悬挂的双曲线

函数 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的图象酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称 $f(x)$ 为“对勾函数”，其图象是渐近线分别为 $l_1: x=0$（即 $y$ 轴）与 $l_2: y=x$ 的双曲线．

1、求函数 $f(x)$ 图象的顶点坐标与离心率．

2、求函数 $f(x)$ 图象的焦点坐标．

解析        

1、双曲线的顶点是距离其中心最近的点，设双曲线上一点 $P\left(m,m+\dfrac 1m\right)$，其中心为坐标原点 $O$，有 $$|OP|=\sqrt{m^2+\left(m+\dfrac{1}{m}\right)^2}=\sqrt{2m^2+\dfrac 1{m^2}+2}\geqslant \sqrt{2\sqrt 2+2},$$ 等号当 $m=\pm 2^{-\frac 14}$ 时取得，因此所求顶点坐标为 $\left(\pm 2^{-\frac 14},\pm \left(2^{\frac 14}+2^{-\frac 14}\right)\right)$．双曲线的离心率 $e$ 与渐进线的夹角 $\theta$ 的关系为 $$e=\dfrac1{\cos\dfrac{\theta}2}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}2}}=\sqrt{4-2\sqrt 2},$$

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $f(x)$ 图象的焦点坐标为 $$\left(\sqrt{2\sqrt 2-2},\sqrt{2\sqrt 2-2}\cdot \left(\sqrt 2+1\right)\right)=\left(\sqrt{2\sqrt 2-2},\sqrt{2\sqrt 2+2}\right).$$