每日一题[3201]孪生椭圆

如图，$C_1,C_2$ 是离心率都为 $e$ 的椭圆，点 $A,B$ 是 $C_2$ 的顶点，过 $A,B$ 两点分别作 $C_1$ 的切线 $l_1,l_2$．若直线 $l_1,l_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $\left|k_1 k_2\right|$ 的值为（       ）

A．$e^2$

B．$e^2-1$

C．$1-e^2$

D．$\dfrac{1}{e^2}$

答案    C．

解析    设 $C_1:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$C_2:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda^2$（$\lambda>1$），椭圆 $C_1$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程为

$$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1,$$ 其斜率为 $-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，横纵截距分别为 $\dfrac{a^2}{x_0},\dfrac{b^2}{y_0}$．当 $\dfrac{a^2}{x_0}=\lambda a$ 时，有 $x_0=\dfrac{a}{\lambda}$，于是 $$y_0^2=b^2\left(1-\dfrac{x_0^2}{a^2}\right)=b^2\left(1-\dfrac{1}{\lambda^2}\right),$$ 因此 $$|k_1|=\dfrac{b^2\cdot \dfrac a{\lambda}}{a^2 \cdot b\sqrt{1-\dfrac1{\lambda^2}}}=\dfrac ba\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\lambda^2-1}}.$$ 类似地，当 $\dfrac{b^2}{y_0}=\lambda b$ 时，有 $y_0=\dfrac{b}{\lambda}$，于是 $$x_0^2=a^2\left(1-\dfrac{y_0^2}{b^2}\right)=a^2\left(1-\dfrac{1}{\lambda^2}\right),$$ 因此 $$|k_2|=\dfrac{b^2\cdot a\sqrt{1-\dfrac1{\lambda^2}}}{a^2\cdot \dfrac{b}{\lambda}}=\dfrac ba\cdot \sqrt{\lambda^2-1},$$ 所以 $$|k_1k_2|=\dfrac{b^2}{a^2}=1-e^2.$$