每日一题[3189]加权平方和

$\triangle A B C$ 的三边长 $a,b,c$ 满足：$a^2+b^2+3 c^2=7$，则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$．

解析    先证明

命题    已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，面积为 $S$，$t_1,t_2,t_3$ 是任意三个正实数，求证： $$t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2\geqslant 4\sqrt{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1}\cdot S,$$ 并指出等号取得的条件．

命题的证明    由三角形面积的三斜求积公式，有 $$(4S)^2=2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^2,$$ 设 $$t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2=m,$$ 根据拉格朗日乘数法，设 $$F(a^2,b^2,c^2,\lambda)=(4S)^2+\lambda (t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2-m),$$ 则极值条件为 $$\begin{cases} -2a^2+2b^2+2c^2+\lambda t_1=0,\\ 2a^2-2b^2+2c^2+\lambda t_2=0,\\ 2a^2+2b^2-2c^2+\lambda t_3=0,\\ t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2-m=0,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} a^2=\dfrac{m(t_2+t_3)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ b^2=\dfrac{m(t_3+t_1)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ c^2=\dfrac{m(t_1+t_2)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ \lambda=-\dfrac{2m}{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1},\end{cases}$$ 进而可得 $$(4S)^2\leqslant \dfrac{m^2}{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1},$$ 原命题得证，且等号取得的条件是 $$a^2:b^2:c^2=(t_2+t_3):(t_3+t_1):(t_1+t_2).$$ 根据结论，可得所求面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 7}4$．