每日一题[3113]阿基米德三角形

已知 $A,B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上两点，以 $A, B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$，设以 $A, B$ 为切点的抛物线的切线斜率为 $k_A, k_B$，过 $A, B$ 的直线斜率为 $k_{A B}$，则以下结论正确的有（       ）

A．$k_A, k_{A B}, k_B$ 成等差数列

B．若点 $P$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2}$，则 $k_{A B}=\dfrac{1}{2}$

C．若点 $P$ 在抛物线的准线上，则 $\triangle A B P$ 是直角三角形

D．若点 $P$ 在直线 $y=2 x-2$ 上，则直线 $A B$ 恒过定点

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，设 $A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$，则\[PA:~y=2ax-a^2,\quad PB:~y=2bx-b^2,\]于是 $k_A=2a$，$k_{AB}=a+b$，$k_B=2b$，选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，由于 $AB:~y=(a+b)x-ab$ 即\[\dfrac{y+ab}2=\dfrac{a+b}2\cdot x,\]于是 $P\left(\dfrac{a+b}2,ab\right)$，从而 $k_{AB}=1$，选项错误．

对于选项 $\boxed{C}$，若 $P$ 在抛物线准线上，则 $ab=-\dfrac 14$，此时\[k_A\cdot k_B=2a\cdot 2b=-1,\]因此 $\triangle ABP$ 是直角三角形，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，若点 $P$ 在直线 $y=2x-2$ 上，则\[ab=2\cdot \dfrac{a+b}2-2\iff 2=(a+b)\cdot 1-ab,\]因此直线 $AB$ 恒过点 $(1,2)$，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．