每日一题[3071]函数方程

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)$，则（        ）

A．$f(0)=0$

B．$f(1)=0$

C．$f(x)$ 是偶函数

D．$x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

答案    ABC．

解析    令 $x\to 0$，$y\to 0$，可得 $f(0)=0$；

令 $x\to 1$，$y\to 1$，可得 $f(1)=2f(1)$，从而 $f(1)=0$；

令 $y\to -1$，可得 $f(-x)=f(x)+x^2f(-1)$，再令 $x=-1$，可得 $f(1)=2f(-1)$，于是 $f(-1)=0$，从而 $$f(-x)=f(x),$$ 从而 $f(x)$ 是偶函数．

取函数 $f(x)=0$ 符合题意，但 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极小值点．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．

备注    若 $f(x)$ 限制不为常数函数，可以取 $f(x)=\begin{cases} x^2\ln |x|,&x\ne 0,\\ 0,&x=0,\end{cases}$ 则 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点．

事实上，若 $y=f(x)$ 是符合题意的函数，则 $y=-f(x)$ 也是符合题意的函数，因此选项 $\boxed{D}$ 不正确．