已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x^2}-a\left(\ln x+\dfrac{2}{x}\right)$（$a \in\mathbb R$）．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围；
② 求证：$x_1 x_2<1$．
解析
1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-2)\left({\rm e}^{x-1}-x\right)}{x^3},\]由于 ${\rm e}^{x-1}-x\geqslant 0$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(2,+\infty)$，单调递减区间为 $(0,2)$．
2、① 根据题意，有\[f'(x)=\dfrac{2-x}{x^3}\cdot \left(ax-{\rm e}^{x-1}\right),\]于是函数 $g(x)=ax-{\rm e}^{x-1}$ 在 $(0,2)$ 上有两个变号零点，注意到\[g(x)=0\iff a=\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x},\]有\[g'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}(x-1)}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,2)&2-\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&1&\nearrow&\dfrac{\rm e}2\\ \hline\end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{\rm e}2\right)$．
② 根据题意，有\[ax_1-{\rm e}^{x_1-1}=ax_2-{\rm e}^{x_2-1}=0,\]进而\[x_1-\ln x_1=x_2-\ln x_2=1+\ln a,\]根据对数平均不等式，有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1<\dfrac{x_1+x_2}2,\]从而\[x_1x_2<1,\quad x_1+x_2>2,\]命题得证．