每日一题[2945]极值偏移

已知函数 $f(x)=a x-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}>2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{ax-1}{x},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 没有单调递增区间，单调递减区间为 $(0,+\infty)$；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 1a\right)$．

2、根据题意，有 $$ax_1-\ln x_1=ax_2-\ln x_2=0,$$ 于是根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac 1a<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 因此 $$x_1x_2<\dfrac{1}{a^2},\quad x_1+x_2>\dfrac 2a.$$ 而 $$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}=\dfrac{1}{ax_1}+\dfrac{1}{ax_2}=\dfrac{x_1+x_2}{ax_1x_2}>\dfrac{\frac 2a}{a\cdot \frac{1}{a^2}}=2,$$ 命题得证．