每日一题[2935]精细估计

已知函数 $f(x)=\dfrac{m+\ln x}{x}$，$m \in \mathbb R$，$x>1$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $m=4$，$k \in\mathbb N^{\ast}$，且 $\dfrac{k}{x+1}<f(x)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{1-m-\ln x}{x^2},$$ 于是当 $m\geqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 没有单调递增区间，单调递减区间是 $(1,+\infty)$；当 $m<1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(1,{\rm e}^{1-m}\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^{1-m},+\infty\right)$ 上单调递减．

2、根据题意，有

$$\forall x>1,~k<\dfrac{(x+1)(4+\ln x)}{x},$$ 设不等式右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x-3-\ln x}{x^2},$$ 注意到 $h(x)=x-3-\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，且 $$h(4)=1-\ln 4<0<2-\ln 5=h(5),$$ 于是 $g(x)$ 的最大值 $$M=\dfrac{(m+1)(4+\ln m)}{m},$$ 其中 $m-3-\ln m=0$．将 $\ln m=m-3$ 代入可得 $$M=\dfrac{(m+1)^2}{m}=m+\dfrac 1m+2,$$ 将 $m\in(4,5)$ 代入，可得 $M\in\left(6\dfrac 14,7\dfrac 15\right)$，需要更精细的估计．尝试证明 $m<\dfrac{14}3$（这样就可以得到 $M<\dfrac{289}{42}<7$），只需要证明 $$\ln\dfrac{14}{3}<\dfrac 53\impliedby \ln\dfrac76+2\ln 2<\dfrac 53\impliedby \dfrac 16+2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2<\dfrac 53,$$ 其中用到了 $\ln \dfrac 76<\dfrac 76-1=\dfrac 16$，以及 $\ln \sqrt 2<\dfrac 12\left(\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$． 综上所述，$k$ 的最大值为 $6$．