每日一题[2893]切割线放缩

函数 $f(x)=\ln (x+1)+a x$ 的图象与直线 $y=2 x$ 相切．

1、求 $a$ 的值．

2、证明：对于任意正整数 $n$，有 $$n^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{n}{n+1}}<\frac{(2 n) !}{n !}<n^n \cdot \mathrm{e}^{\frac{n+1}{3}}.$$

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}+a,$$ 其图象与直线 $y=2x$ 相切，设切线横坐标为 $t$，则 $$\begin{cases} f(t)=2t,\\ f'(t)=2,\end{cases}\iff \begin{cases} \ln (t+1)+at=2t,\\ \dfrac{1}{t+1}+a=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2-\dfrac{1}{t+1},\\ \ln(t+1)+\dfrac{1}{t+1}-1=0,\end{cases}$$ 注意到 $g(t)=\ln(t+1)+\dfrac{1}{t+1}-1$ 单调递减，且 $g(0)=0$，从而 $t=0$，进而 $a=1$．

2、题中不等式即 $$n\ln n+\dfrac{n}{n+1}<\sum_{k=1}^n\ln (n+k)<n\ln n+\dfrac{n+1}2,$$ 也即 $$\dfrac{n}{n+1}<\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\dfrac kn\right)<\dfrac{n+1}2.$$ 根据对数函数的基本放缩和进阶放缩，当 $x\in(0,1)$ 时有 $$\dfrac {2x}3<\dfrac{2x}{x+2}<\ln (x+1)<x,$$ 于是 $$\dfrac{n}{n+1}<\dfrac{n+1}3=\sum_{k=1}^n\dfrac{2k}{3n}<\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\dfrac kn\right)<\sum_{k=1}^n\dfrac kn=\dfrac{n+1}2,$$ 命题得证．