每日一题[2833]坐标驱动

如图，抛物线 ${C_1}:{x^2} = 4y$，${C_2}:{x^2} = - 2py$（${p > 0}$）．点 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在抛物线 ${C_2}$ 上，过 $M$ 作 ${C_1}$ 的切线，切点为 $A,B$（$M$ 为原点 $O$ 时，$A,B$ 重合于 $O$）．当 ${x_0} = 1 - \sqrt 2$ 时，切线 $MA$ 的斜率为 $- \dfrac{1}{2}$．

1、求 $p$ 的值．

2、当 $M$ 在 ${C_2}$ 上运动时，求线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程（$A,B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$）．

解析

1、本题考查抛物线的切线方程，以切点坐标为参数表达已知条件是解决问题的关键．

设 $A(4a,4a^2)$，$M(2pm,-2pm^2)$，则抛物线 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线方程为

$$4ax=2(y+4a^2)\iff 2ax-y-4a^2=0,$$ 其斜率为 $2a=-\dfrac 12$，于是 $a=-\dfrac 14$，从而 $A\left(-1,\dfrac 14\right)$，因此 $$MA:-\dfrac 12x-y-\dfrac 14=0,$$ 进而 $$\begin{cases} 2pm=1-\sqrt 2,\\ -\dfrac 12\cdot 2pm-(-2pm^2)-\dfrac14=0,\end{cases}\iff \begin{cases} p=2,\\ m=\dfrac{1-\sqrt 2}4,\end{cases}$$ 因此 $p$ 的值为 $2$．

2、本题考查抛物线的切点弦方程，以切点坐标为参数表达已知条件是解决问题的关键．

设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$，则 $N(2(a+b),2(a^2+b^2))$，直线

$$AB:y=(a+b)x-4ab\iff 2(a+b)\cdot x=2(y+4ab),$$ 因此 $M\left(2(a+b),4ab\right)$，当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时，有 $$(2(a+b))^2=-4\cdot 4ab\iff (2(a+b))^2=-2((2(a+b))^2-4(a^2+b^2)),$$ 因此 $N$ 的轨迹方程为 $$x^2=-2(x^2-2y)\iff x^2=\dfrac 43y,$$ 是焦点为 $\left(0,\dfrac 13\right)$，顶点为原点的抛物线．