每日一题[2819]剖面分析

已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK = \dfrac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^\circ$，则球 $O$ 的表面积等于_______．

答案    $16\pi$．

解析    本题考查球体的形体分析，取合适的剖面进行分析是解决问题的关键．

如图所示，公共弦为 $AB$，设球的半径为 $R$，则 $AB = R$．取 $AB$ 中点 $M$，连接 $OM,KM$，则

$$OM \perp AB,\quad KM \perp AB,$$ 所以 $\angle KMO$ 为圆 $O$ 与圆 $K$ 所在平面所成的二面角的平面角，于是 $\angle KMO = 60^\circ$．在 ${\mathrm{Rt}}\triangle KMO$ 中，$OK = \dfrac{3}{2}$，所以 $$OM = \dfrac{OK}{\sin 60^\circ } = \sqrt 3.$$ 在 ${\mathrm{Rt}}\triangle OAM$ 中，有 $$OA^2 = OM^2 + AM^2\implies {R^2} = 3 + \dfrac{1}{4}{R^2},$$ 解得 ${R^2} = 4$，所以球 $O$ 的表面积为 $4{\mathrm \pi} {R^2} = 16{\mathrm \pi}$．