每日一题[2752]正交分解

在 $\triangle ABC$ 中，设 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $4a^2=b^2+2c^2$，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，则 $\dfrac{S}{a^2}$ 的最大值是_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{10}}6$．

解析    设 $a=1$，$b^2=h^2+x^2$，$c^2=h^2+y^2$，其中 $x+y=1$，而 $$x^2+2y^2+3h^2=4,$$ 于是 $$4-3h^2=x^2+2y^2\geqslant \dfrac{(x+y)^2}{1+\dfrac 12}=\dfrac 23,$$ 从而 $h^2\leqslant \dfrac{10}9$，因此 $$\dfrac{S}{a^2}=\dfrac 12h\leqslant \dfrac{\sqrt{10}}6,$$ 等号当 $x=2y$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{10}6$．