设正整数 $a, b, c$ 满足 $a \geqslant b \geqslant c$ 和 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$，则 $a+b+c$ 的最小值是（ ）
A．$7$
B．$8$
C．$9$
D．前三个答案都不对
答案 $B$．
解析 根据题意，有\[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=50,\]设 $b=c+m$，$a=b+n$，$m,n\in\mathbb N$，则\[m^2+n^2+(m+n)^2=50,\]该不定方程的解 $(m,n)=(0,5),(5,0)$，因此\[(a,b,c)=(c+5,c,c),(c+5,c+5,0),\]因此 $a+b+c\geqslant 3c+5\geqslant 8$，等号当 $(a,b,c)=(6,1,1)$ 时取得，所以所求最小值为 $8$．