每日一题[2705]差量与配方

设正整数 $a, b, c$ 满足 $a \geqslant b \geqslant c$ 和 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$，则 $a+b+c$ 的最小值是（       ）

A．$7$

B．$8$

C．$9$

D．前三个答案都不对

答案    $B$．

解析    根据题意，有

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=50,$$ 设 $b=c+m$，$a=b+n$，$m,n\in\mathbb N$，则 $$m^2+n^2+(m+n)^2=50,$$ 该不定方程的解 $(m,n)=(0,5),(5,0)$，因此 $$(a,b,c)=(c+5,c,c),(c+5,c+5,0),$$ 因此 $a+b+c\geqslant 3c+5\geqslant 8$，等号当 $(a,b,c)=(6,1,1)$ 时取得，所以所求最小值为 $8$．