每日一题[2694]分而治之

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a \ln (x+1)-1$，其中 $a \in \mathbb{R}$，$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数．

1、若 $f(x)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

2、若 $a=1$，判断函数 $g(x)=f(x)-\sin x$ 的零点个数． （参考数据：$\ln 2 \approx 0.693$，$\mathrm{e} \approx 2.718$）

解析

1、根据题意，有函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{a}{x+1}\geqslant 0,$$ 讨论分界点为 $a=0$．

情形一     $a\leqslant 0$．此时符合题意．

情形二     $a>0$．此时取 $x=\min\{-1+\dfrac 12a,0\}$，则 $$f'(x)\leqslant 1-\dfrac a{x+1}<-1,$$ 不符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．

2、函数 $g(x)={\rm e}^x-\ln (x+1)-1-\sin x$，则 $g(0)=0$，且当 $x<0$ 时，有 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<0,$$ 因此 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，没有零点． 当 $x\geqslant 1$ 时，有 $$g'(x)\geqslant {\rm e}-\dfrac 12-1>0,$$ 而 $$g(1)={\rm e}-\ln 2-1-\sin 1>2.7-0.7-1-1=0,$$ 因此 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，没有零点． 当 $0<x<1$ 时，有 $g'(x)>0$，而 $$g'(0)=-1,\quad g'(1)>0,$$ 因此 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上线单调递减，后单调递增，结合 $g(0)=0$，$g(1)>0$，可得 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点．

综上所述，函数 $g(x)$ 的零点个数为 $2$．