每日一题[2668]二阶不动点

已知 $a>0$，函数 $f(x)=2\ln(ax)-x$，若函数 $F(x)=f(f(x))-x$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac1{\rm e},+\infty\right)$

B．$\left[\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$

C．$\left({\rm e},+\infty\right)$

D．$\left[{\rm e},+\infty\right)$

答案    C．

解析    考虑函数 $g(x)=f(x)-x$，其导函数

$$g'(x)=\dfrac{2(1-x)}x,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=1$ 处取得极大值，亦为最大值 $g(1)=2\ln a-2$．

情形一    $a\in (0,{\rm e})$．此时 $g(1)<0$，因此对任意 $x>0$，均有 $f(x)<x$，进而对使得 $f(x)>0$ 的正实数 $x$，有

$$f(f(x))<f(x)<x,$$ 因此 $F(x)$ 没有零点．

情形二    $a={\rm e}$．此时 $g(1)=0$，进而

$$f(f(1))=f(1)=1,$$ 因此 $$F(x)=0\iff \big(f(f(x))-f(x)\big)+\big(f(x)-x\big)=0\iff x=1,$$ 因此 $F(x)$ 有唯一零点 $x=1$．

情形三     $a\in ({\rm e},+\infty)$．此时 $g(1)>0$，进而可得 $g(x)$ 有两个零点 $x=x_1,x_2$（$x_1<x_2$），这两个零点同时也是 $F(x)$ 的零点，且这两个零点将区间 $D=\{x\mid f(x)>0\}$ 分成 $3$ 个开区间，这三个开区间上 $F(x)$ 符号确定且均不为 $0$，因此 $F(x)$ 恰有两个零点．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $({\rm e},+\infty)$．