每日一题[2643]球中藏身

如图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制 《授时历》时所做的天文计算．图中的 $AB,AC,BD,CD$ 都是以 $O$ 为圆心的圆弧，$C M N K$ 是为计算所做的矩形，其中 $M, N, K$ 分别在线段 $O D, O B, O A$ 上，$M N \perp O B$，$K N \perp O B$．记 $\alpha=\angle A O B$，$\beta=\angle A O C$，$\gamma=\angle B O D$，$\delta=\angle C O D$，则（       ）

答案    ACD．

解析    根据题意，四棱锥 $O-CMNK$ 的底面是矩形且 $ON\perp CMNK$，设 $ON=KC=a$，$KN=CM=b$，$ON=1$，则

$$\tan\alpha =b,\quad \tan\beta=\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}},\quad \tan\gamma =a,\quad \tan\delta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}},$$ 于是 $$\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}},\quad \sin\beta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+1}},\quad \sin\gamma =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}},\quad \sin\delta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2+1}},$$ 且 $$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}},\quad \cos\beta=\dfrac{\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{a^2+b^2+1}},\quad \cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}},\quad \cos\delta=\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+b^2+1}},$$ 于是选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误．